作为现代决策科学的重要分支，多属性决策旨在对有限个方案从多个属性的角度进行决策分析，进而通过信息集成的方式对备选方案作出选择，其理论与方法已被广泛应用于诸多领域，有力推动了社会经济的发展[1-2].由于决策者的认知存在不确定性以及决策问题的复杂性不断增加等原因，导致决策者难以准确处理决策信息.而自Zadeh提出模糊集理论以来，模糊多属性决策问题已成为多属性决策研究的重要方向[3].近年来，为了从不精确性、不一致性、不完备性、含糊性及犹豫性等不同侧面进一步高效描述不确定信息，多种模糊集的推广形式被提出[4].其中针对决策数据表示过程中体现决策者犹豫程度的需要，Torra[5]将隶属度的取值由单一值推广到多个值构成的集合，由此建立了犹豫模糊集理论.之后考虑到犹豫模糊集只关注了评价信息为精确数的情况，若用区间数代替精确数可更有效处理决策信息所蕴含的不完备性.于是Chen等人[6]结合区间数和犹豫模糊集的优势，发展了区间犹豫模糊集的概念.鉴于区间犹豫模糊集的提出可灵活描述不确定信息具备的不完备性与犹豫性，区间犹豫模糊多属性决策问题得到了广泛研究[7-11].
迄今为止，大多数多属性决策方法是在属性间存在相互独立关系的基础上进行研究的.然而随着现代决策环境的日益复杂，属性间存在关联性与优先关系的情况在现实中普遍存在.例如，高等院校在人才引进中，人力资源专家往往从道德品质、科研能力、教学能力、教育背景等方面对应聘者作出评价.通常拥有高学历与名校教育背景的应聘者科研能力也较强，即人才评价属性间存在关联性.同时专家会优先进行道德品质的考察并将其视为最重要的属性，之后按重要性依次考察科研能力、教学能力、教育背景，即人才评价属性间存在优先关系.因此，有必要系统研究考虑关联性与优先关系的多属性决策方法.
近年来，针对属性间存在关联性的问题，通常利于模糊测度表示属性间的关系，之后通过Choquet积分的形式进行信息集成[12]；针对属性间存在优先关系的问题，通过建立一系列优先集成算子来对考虑优先关系的多属性决策问题进行合理求解[13]；针对属性间同时存在关联性与优先关系的问题，Chen等人[14-15]利用Choquet积分，先后提出了广义优先测度引导集成算子与弱序优先测度引导集成算子.
鉴于模糊图可通过顶点间的边高效表示属性间的关联性，进而利用模糊图的概念来研究属性间的关联性对决策结果的影响，从而形成了基于模糊图的多属性决策方法.Yu等人[16-17]首先提出了基于图论与模糊图论的决策方法，随后建立了基于有向图的联盟决策方法.张超等人[18]提出了犹豫模糊图的概念并用于多属性决策问题的求解.最近，面向实际应用中存在的诸多基于数据驱动的复杂问题，多种模糊图的推广形式被提出[19-22]，为相应背景中基于图论方法的不确定性表示[23-24]提供了理论支撑.
然而，犹豫模糊背景中针对属性间同时存在关联性与优先关系的多属性决策方法研究还比较少，而属性间同时具有关联性与优先关系的区间犹豫模糊多属性决策问题在现实中又普遍存在.针对解决上述决策问题的需求，考虑到模糊图建模方法在表示决策中属性间关系时的灵活性与直观性，即诸多具备复杂属性间相互关系的模糊多属性决策问题都可表示为模糊图的结构，有必要结合模糊图的特点与优势开展对考虑关联性与优先关系的区间犹豫模糊图多属性决策方法的系统研究.综上所述，为了有效利用模糊图解决区间犹豫模糊多属性决策问题，本文主要提出区间犹豫模糊图的概念，并面向属性间同时具有关联性与优先关系的多属性决策问题，构建基于区间犹豫模糊图的多属性决策方法.
本文主要贡献包括3个方面：
1) 提出了区间犹豫模糊图的概念，并研究了区间犹豫模糊图的定义、运算规则、映射关系；
2) 利用区间犹豫模糊图的特点与优势，构建了考虑关联性与优先关系的区间犹豫模糊图多属性决策方法；
3) 通过实例及对比性分析阐述了所提多属性决策方法的可行性与有效性.
1 基本理论
在本节中，首先从定义、运算规则及层次化方法等角度回顾区间犹豫模糊集理论，接着简要介绍模糊图的相关概念.
1.1 区间犹豫模糊集
定义1[6]. 设V为一个非空有限论域，int[0,1]代表[0,1]上所有闭子区间构成的集合.在V上的1个区间犹豫模糊集可表示为函数h，该函数应用到V上会返回1个在int[0,1]上的子集，称
为V上的1个区间犹豫模糊集，
是int[0,1]中几个可能区间数的集合，表示V中的元素x属于
的隶属度.称为区间犹豫模糊元，表示为
其中,γ=[γL,γU]是1个区间数，该区间数的下界和上界记作γL=inf γ和γU=sup γ.此外，把V上所有的区间犹豫模糊集记作IVHF(V).
鉴于区间数之间无法直接进行比较，有必要介绍比较不同区间数的常见方法.
定义2[1]. 设a=[aL,aU]和b=[bL,bU]为区间数，有3个运算规则：
1) 若aL=bL且aU=bU，则a=b；
2) a+b=[aL+bL,aU+bU]，a-b=[min(aL-bL,aU-bU),max(aL-bL,aU-bU)]；
3) 当aL和bL均大于0时，
定义3[1]. 设a=[aL,aU]和b=[bL,bU]为区间数，a≥b和a≤b的可能度定义为
为了提高区间犹豫模糊集的运算效率，Chen等人[6]结合2项假设给出了区间犹豫模糊集的简化运算规则：
1) 对于1个区间犹豫模糊集
令其中
中的区间数按升序排列，称
为中第t大的数，该区间数的下界和上界记作
和
2) 对于2个区间犹豫模糊集
和
若其中和
中的区间数个数不同，则对含有较少区间数的区间犹豫模糊元补充其中最大区间数，最终使得和中的区间数个数相同.
定义4[6]. 设V为一个非空有限论域，存在区间犹豫模糊集
定义6个简化运算规则：
为方便比较不同的区间犹豫模糊元，介绍区间犹豫模糊元得分函数的概念.
定义5[6]. 设为1个区间犹豫模糊元，
代表中区间数的个数，称
为的得分函数.对于2个区间犹豫模糊集和
若
则
1.2 模糊图
定义6[19]. 设V为1个非空有限集合，定义在V×V～{(x,x):x∈V}上的等价关系为：(x1,y1)～(x2,y2)⟺或(x1,y1)=(x2,y2)或x1=y2，y1=x2.
称
为由此等价关系得到的商集，且称xy，yx或[(x,y)]为包含(x,y)的等价类.若存在
则称序对(V,E)是1个无向简单图，本文所涉及的图均为无向简单图.
定义7[19]. 设V为1个非空有限集合，定义模糊图G为
G=(μ,ρ)，
其中，μ:V→[0,1]，ρ:V×V→[0,1]，且对于所有x,y∈V，有ρ(xy)≤μ(x)∧μ(y)成立，此时G=(μ,ρ)是图G*=(V,E)的模糊图.称μ为关于模糊图G的模糊顶点集，ρ为关于模糊图G的模糊边集.
2 区间犹豫模糊图
本节将模糊图的概念发展至区间犹豫模糊背景中，首先提出区间犹豫模糊图的定义，之后建立区间犹豫模糊图的运算规则与映射关系.
定义8. 设V为1个非空有限集合，定义区间犹豫模糊图G为
其中，是V上的1个区间犹豫模糊集，满足
是V×V上的1个区间犹豫模糊集，满足
且对于所有x,y∈V，有
成立，此时
是图G*=(V,E)的区间犹豫模糊图.称为关于区间犹豫模糊图G的区间犹豫模糊顶点集，
为关于区间犹豫模糊图G的区间犹豫模糊边集.
定义9. 设
是图G*=(V,E)的区间犹豫模糊图，若
成立，则称是区间强犹豫模糊图.容易看出，区间强犹豫模糊图是区间犹豫模糊图的退化情况.
例1. 设是图G*=(V,E)的区间犹豫模糊图，令集合V={x1,x2,x3,x4}，集合E={x1x2,x1x3,x1x4,x2x3,x2x4,x3x4}.是V上的1个区间犹豫模糊集，
是V×V上的1个区间犹豫模糊集，
x2,{[0.4,0.6]}
,x3,{[0.7,0.9]},x4,{[0.6,0.7],[0.7,0.8]}}，
x1x3,{[0.4,0.6],[0.5,0.7]},x1x4,{[0.5,0.6]},x2x3,{[0.3,0.5]},x2x4,{[0.3,0.6],[0.4,0.6]},x3x4,{[0.5,0.7]}}.
该区间犹豫模糊图如图1所示.
Fig. 1 The interval-valued hesitant fuzzy graph
图1 区间犹豫模糊图
接下来从区间犹豫模糊图之间笛卡儿积、合成、并、联的角度建立相应运算规则.
定义10. 设
和
分别是图
和
的区间犹豫模糊图.
1) G1和G2的笛卡儿积G1□
□
定义为
∀(x1,x2)∈V1×V2；
∀x∈V1，x2y2∈E2；
∀z∈V2，x1y1∈E1.
2) G1和G2的合成
定义为
∀(x1,x2)∈V1×V2；
∀x∈V1，x2y2∈E2；
∀z∈V2，x1y1∈E1；
3) G1和G2的并
定义为
4) G1和G2的联
定义为
∀x∈V1，y∈V2.
定义11. 设和分别是图和的区间犹豫模糊图.
1) 若映射f满足2个条件，则称映射f:V1→V2为G1到G2的同态.
①
②
2) 若f是双射且满足2个条件，则称映射f:V1→V2为G1到G2的弱同构.
① f是G1到G2的同态；
②
3) 若f是双射且满足2个条件，则称映射f:V1→V2为G1到G2的同构.
①
②
3 区间犹豫模糊图多属性决策方法
针对属性间同时具有关联性与优先关系的区间犹豫模糊多属性决策问题，本节利用区间犹豫模糊图的概念建立基于区间犹豫模糊图的多属性决策方法.首先简述所研究问题的基本模型，之后给出考虑关联性与优先关系的区间犹豫模糊图多属性决策方法.
3.1 模型建立
在属性间同时具有关联性与优先关系的区间犹豫模糊多属性决策问题中，令备选方案集为P={p1,p2,…,pm}，属性集为V={a1,a2,…,an}，属性权重为ω=(ω1,ω2,…,ωn)T.此外，属性间存在线性优先关系a1≻a2≻…≻an，其中a1≻a2表示属性a1相比a2更重要，在多属性决策中拥有更高的优先级.接下来决策者对备选方案pk(k=1,2,…,m)利用属性aj(j=1,2,…,n)进行评价，用区间犹豫模糊数的形式给出评价结果dk j，从而构成区间犹豫模糊决策矩阵D=(dk j)m×n.为了利用区间犹豫模糊图的优势解决上述问题，令是V上的1个区间犹豫模糊集，满足
是V×V上的1个区间犹豫模糊集，满足
对于任意ai和aj，有
成立，由此给出了图G*=(V,E)的区间犹豫模糊图
最终，集成多个属性下的区间犹豫模糊信息后对决策方案p1,p2,…,pm对应的总体属性值进行分析并选择最优方案.总体来看，上述多属性决策过程包括了决策信息的表示与构建、集成、分析等阶段，该过程可用基于区间犹豫模糊图的多属性决策模型来描述，如图2所示：
Fig. 2 The multi-attribute decision making model based on interval-valued hesitant fuzzy graphs
图2 基于区间犹豫模糊图的多属性决策模型
3.2 模型算法
下面给出考虑关联性与优先关系的区间犹豫模糊图多属性决策方法，该方法的建立主要在于有效处理属性间的关联性与优先关系.
在处理属性间关联性方面，将犹豫模糊信息能量系数发展至区间犹豫模糊背景中，以此进行属性间相互影响程度的求解.对于2个具有关联性的属性ai和aj(i,j=1,2,…,n)，区间犹豫模糊信息能量系数表示为
代表ai对于aj相互影响程度.不难看出，若i=j，则有ψi j=ψj i成立，此时区间犹豫模糊信息能量系数达到最大值[1,1]；若属性间相互独立，此时区间犹豫模糊信息能量系数达到最小值[0,0]；大部分情况下，区间犹豫模糊信息能量系数介于[0,0]和[1,1]之间.
在处理属性间优先关系方面，将模糊图离心率的概念发展至区间犹豫模糊背景中，结合属性间存在的线性优先关系进行属性权重的求解.首先计算每个区间犹豫模糊顶点对应的离心率，设是图G*=(V,E)的区间犹豫模糊图，存在n+1个区间犹豫模糊顶点u=a0,a1,…,an-1,an=v，则区间犹豫模糊离心率为
利用上述区间犹豫模糊离心率的概念，借鉴文献[16]建立的基于基于模糊图论的决策方法，对多属性决策中属性集V的每个属性求离心率e(aj)(j=1,2,…,n)，进行归一化处理
设属性间存在着线性优先关系a1≻a2≻…≻an，则属性权重ωj可用以上归一化区间犹豫模糊离心率得出，即
其中当j≠0时
当j=0时Sj=[1,1].由此在属性权重完全未知的情况下，利用属性间优先关系完成对属性权重的求解.
依据以上处理属性间的关联性与优先关系的思路，建立考虑关联性与优先关系的区间犹豫模糊图多属性决策方法，如算法1所示：
算法1. 考虑关联性与优先关系的区间犹豫模糊图多属性决策.
输入：区间犹豫模糊决策矩阵D=(dk j)m×n、属性间的线性优先关系a1≻a2≻…≻an、描述属性间关联性的区间犹豫模糊图
输出：最优备选方案.
步骤1. 计算具有关联性的属性ai和aj之间的区间犹豫模糊信息能量系数ψi j.
步骤2. 利用属性间的线性优先关系计算属性权重ωj.
步骤3. 计算备选方案pk(k=1,2,…,m)的总体属性值
步骤4. 计算备选方案pk对应总体属性值的得分值
步骤5. 确定最优备选方案
4 实例分析
4.1 实例描述
本节以文献[7]运用的多属性决策实例为背景，通过实例分析阐述所提多属性决策方法的可行性.
依据加强高校人才队伍建设、吸引紧缺人才到教师队伍中以有效改善人才队伍学缘结构的需求，某中国高校管理学院进行了海外优秀人才的引进工作，经过人力资源专家的初步审核，有5位应聘者进入了面试程序，应聘者集合表示为P={p1,p2,p3,p4,p5}.
Fig. 3 The interval-valued hesitant fuzzy graph for describing correlations between attributes
图3 描述属性间关联性的区间犹豫模糊图
该高校人力资源专家统一制定了对5位应聘者评价的属性集V={a1,a2,a3,a4}，其中a1代表道德品质，a2代表科研能力，a3代表教学能力，a4代表教育背景，这4项属性的权重向量表示为ω=(ω1,ω2,ω3,ω4)T.此外面试中人才评价属性间存在优先关系a1≻a2≻a3≻a4，即人力资源专家优先进行道德品质的考察，之后按重要性依次考察科研能力、教学能力、教育背景.为合理描述人才评价中不确定信息具备的不完备性与犹豫性，人力资源专家建立了区间犹豫模糊决策矩阵D=(dk j)5×4，如表1所示.鉴于人才评价属性间往往存在关联性，例如拥有优秀教育背景的应聘者科研能力通常也较强，建立图G*=(V,E)的区间犹豫模糊图来描述属性间的关联性，其中E={a1a2,a1a3,a1a4,a2a3,a2a4,a3a4}，该区间犹豫模糊图如图3所示.利用考虑关联性与优先关系的区间犹豫模糊图多属性决策方法确定最佳应聘人选.
Table 1 The Interval-Valued Hesitant Fuzzy Decision Making Matrix
表1 区间犹豫模糊决策矩阵
PVa1a2a3a4p1{[0.3,0.4],[0.5,0.8]}{[0.3,0.4],[0.4,0.7]}{[0.6,0.8]}{[0.3,0.4],[0.5,0.6]}p2{[0.3,0.5]}{[0.2,0.3],[0.4,0.5]}{[0.5,0.6],[0.7,0.8]}{[0.4,0.5]}p3{[0.3,0.4],[0.5,0.7]}{[0.3,0.5]}{[0.7,0.8],[0.8,0.9]}{[0.6,0.7]}p4{[0.3,0.4],[0.5,0.6]}{[0.5,0.7]}{[0.3,0.5],[0.6,0.8]}{[0.8,0.9]}p5{[0.3,0.6],[0.7,0.9]}{[0.4,0.6]}{[0.5,0.7],[0.8,0.9]}{[0.7,0.8]}
4.2 决策分析
依据算法1可以得出4个分析过程.
1) 计算属性之间的区间犹豫模糊信息能量系数
同理，不难得到ψ13=[0.025,0.1]，ψ14=[0.045,0.08]，ψ23=[0.05,0.1]，ψ24=[0.02,0.045]，ψ34=[0.125,0.205].
2) 利用人才评价属性间的线性优先关系a1≻a2≻a3≻a4计算属性权重.
顶点的区间犹豫模糊离心率为e(a1)={[2.5,5],[5,10]}，e(a2)={[2.5,3.3],[5,10]}，e(a3)={[2.5,5],[5,10]}，e(a4)={[3.3,5]}.对以上区间犹豫模糊离心率进行归一化处理后有
进一步可得S0=[1,1],S1={[0.25,0.5],[0.5,1]},S2={[0.25,0.5],[0.76,1]},S3={[0.25,0.5],[0.5,1]},S4={[0.5,0.76]}.人才评价属性权重为ω1=[1,1]，ω2={[0.25,0.5],[0.5,1]}，ω3={[0.06,0.25],[0.38,1]}，ω4={[0.02,0.13],[0.19,1]}.
3) 计算应聘者pk(k=1,2,…,5)的总体属性值
ω2×(d11ψ12⊕d12ψ22⊕d13ψ32⊕d14ψ42)⊕
ω3×(d11ψ13⊕d12ψ23⊕d13ψ33⊕d14ψ43)⊕
ω4×(d11ψ14⊕d12ψ24⊕d13ψ34⊕d14ψ44)=
{[0.42,0.72],[0.75,1]}.
同理，不难得到：
4) 计算各应聘者对应总体属性值的得分值：
依据
从大到小的顺序得到应聘者排序p5≻p4≻p3≻p1≻p2，因此该高校海外优秀人才引进中最佳人选为应聘者p5.
4.3 对比性分析
本文实例分析部分为具有关联性与优先关系的区间犹豫模糊多属性决策问题.在众多经典多属性决策方法中，集成算子法利用不同的集成算子对决策信息进行融合，之后依据方案得分值对方案进行排序，是一类常见的多属性决策方法.为验证本文所提多属性决策方法的有效性，本节将与文献[7]建立的基于区间犹豫模糊Einstein优先加权算子，以及文献[8]建立的基于区间犹豫模糊优先加权算子的多属性决策方法进行对比性分析.
1) 与文献[7]所提方法的对比性分析
依据文献[7]所提方法，设区间犹豫模糊决策矩阵为D=(dk j)m×n(k=1,2,…,m；j=1,2,…,n)，则区间犹豫模糊Einstein优先加权平均算子与区间犹豫模糊Einstein优先加权几何算子表示如下.
① 区间犹豫模糊Einstein优先加权平均算子：
IVHFEPWA(dk1,dk2,…,dk n)=
γk1∈dk1,γk2∈dk2,…,γk n∈dk n}；
② 区间犹豫模糊Einstein优先加权几何算子：
IVHFEPWG(dk1,dk2,…,dk n)=
γk1∈dk1,γk2∈dk2,…,γk n∈dk n}，
其中，
为dk i得分函数s(dk i)的期望值.
依据以上2类优先集成算子，可将各应聘者在相应人才评价属性下的区间犹豫模糊数进行集成并求得集成后区间犹豫模糊元的得分值，较大得分值所对应的应聘者即为海外优秀人才引进的最佳人选.最终决策结果表明：利用区间犹豫模糊Einstein优先加权平均算子与区间犹豫模糊Einstein优先加权几何算子所得应聘者排序均为p5≻p4≻p3≻p1≻p2，与本文提出的考虑关联性与优先关系的区间犹豫模糊图多属性决策方法所得结果一致，即最佳人选为应聘者p5.
2) 与文献[8]所提方法的对比性分析
依据文献[8]所提方法，设区间犹豫模糊决策矩阵为D=(dk j)m×n(k=1,2,…,m；j=1,2,…,n)，则区间犹豫模糊优先加权平均算子与区间犹豫模糊优先加权几何算子表示如下.
① 区间犹豫模糊优先加权平均算子：
IVHFPWA(dk1,dk2,…,dk n)=
γk1∈dk1,γk2∈dk2,…,γk n∈dk n}；
② 区间犹豫模糊优先加权几何算子：
IVHFPWG(dk1,dk2,…,dk n)=
γk2∈dk2,…,γk n∈dk n}，
其中，
为dk i的得分函数值.
与之前所进行的对比性分析类似，将各应聘者在相应人才评价属性下的区间犹豫模糊数进行集成并求得集成后区间犹豫模糊元的得分值，较大得分值所对应的应聘者即为海外优秀人才引进的最佳人选.最终决策结果表明：利用区间犹豫模糊优先加权平均算子所得应聘者排序为p5≻p4≻p3≻p1≻p2，与利用本文提出方法所得结果一致.而利用区间犹豫模糊优先加权几何算子所得应聘者排序为p5≻p4≻p1≻p3≻p2，与利用本文提出方法所得结果不完全一致，容易看到p1与p3之间的排序存在差异.但以上排序结果均不影响最佳应聘者的选择，即最佳人选仍为应聘者p5.
依据以上对比性分析结果，基于上述4类优先集成算子的多属性决策方法可合理求解具有优先关系的区间犹豫模糊多属性决策问题.但从具体理论模型与决策分析过程来看，尚未考虑属性间具备关联性的情况.即在本节所描述的高校人才招聘背景中，无法体现人才评价属性间存在的关联性对多属性决策结果的影响.在极端情况下，当属性间关联性的数值差异较大时，所得决策结果容易出现与本文所提方法不一致的情况.例如依据基于区间犹豫模糊优先加权几何算子所得决策结果，应聘者排序中出现了与之前结果不一致的情况，即属性间存在的关联性影响了最终决策结果的得出.
不同于常见的基于集成算子的多属性决策方法，本文提出的区间犹豫模糊图多属性决策方法充分利用了模糊图的特点与优势，不仅能够有效表示多属性决策信息具备的不完备性与犹豫性，而且可同时处理区间犹豫模糊环境中属性间存在的关联性与优先关系.即利用区间犹豫模糊图的特点与优势，为现实中普遍存在的同时具备关联性与优先关系的复杂不确定多属性决策问题提供了一种有效的解决方案.同时，本文提出的区间犹豫模糊图多属性决策方法进一步凸显出了犹豫模糊图建模在复杂多属性决策中的重要科学意义与潜在应用价值.
5 总 结
本文针对区间犹豫模糊背景中属性间同时具有关联性与优先关系的多属性决策问题，研究了一种基于模糊图的多属性决策方法.首先提出了区间犹豫模糊图的定义，并从运算规则与映射关系的角度丰富了区间犹豫模糊图理论；接着构建了考虑关联性与优先关系的区间犹豫模糊图多属性决策方法；最后用某高等院校海外优秀人才引进的实例分析进一步验证了所提出多属性决策方法的可行性与有效性.下一步研究工作将关注决策评价信息为不完全或混合犹豫模糊信息的模糊图多属性决策方法，同时也可将区间犹豫模糊图的应用范围扩大到形式概念分析、聚类分析、自然语言处理等领域.
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