哲学上认为一个“概念”是一个思想单元,它由外延和内涵2部分构成.基于概念的哲学观点,1982年德国数学家Wille提出了形式概念分析[1-2],它是数据分析、知识发现和知识处理的一种有效的数学工具.形式概念分析有2个基本概念:由对象集、属性集和二元关系构成的形式背景(二元背景) 和由外延和内涵构成的形式概念(二元概念).基于皮尔斯范畴三分理论,1995年 Wille等人[3]提出了三元概念分析,它是一种数据分析和信息处理的新方法.三元概念分析的基本概念是三元背景和三元概念.三元背景由对象集、属性集、条件集和三元关系构成,它可以看作是在二元背景的基础上添加了条件集.因此,三元背景考虑的是在哪些条件下一个对象具有某个属性.而三元概念是由外延、内涵和方式3部分构成的一个三元组.
魏玲等人[4-5]介绍了2014年以前有关三元概念分析的基本理论、方法及应用,主要概括为:概念三元格的构造[3,6-8]、三元蕴含及关联规则挖掘[9-11]、三元模态算子[12]、三元概念聚类[13-15]、三元背景的因子分析[16-19]及模糊化[20-24]等.此外,文献[25]证明了一个三元幂形式背景族的所有三元概念图构成一个完备格.汤亚强等人[26]研究了三元形式概念分析下的认知系统模型.文献[27]提出了三元标记数据分类问题的几种算法.基于三元形式概念分析,文献[28]给出了一种有效K-团动态检测定理.文献[29]利用三元形式概念分析提出了一种基于角色的访问控制的模型.文献[30]将粗糙集上、下近似算子引入到三元概念分析中,提出了对象定向三元概念和属性定向三元概念,推广了三元概念分析.为了简化三元背景和概念三元格的表达方式,祁建军等人[31]提出了一种三元背景和概念三元格的信息简化方法.应用三元概念分析,李贞等人[32]提出了文本分类方法.
相较于形式概念分析来说,有关三元概念分析的理论研究和实际应用都比较少,主要原因是三元概念的构造更加繁琐.众所周知：在形式概念分析中,任意一个外延非空的二元概念均可以由某些对象二元概念生成,因此对象二元概念在概念格的构造以及知识发现等方面都具有重要的作用.受此启发,本文通过研究对象-条件三元概念(即由单个对象和单个条件生成的三元概念)的特性来寻找构造三元概念的简单方法.研究表明：任意一个外延和方式非空的三元概念均可以由某些对象-条件三元概念生成.因此,类似于对象二元概念,对象-条件三元概念在三元概念的构造以及知识发现等方面具有同样重要的作用.此外,本文的另一个工作是研究当一个三元概念的外延、内涵和方式中有空集时的判定方法.
1 相关工作
本节给出形式概念分析和三元概念分析的基本概念和结论.
1.1 形式概念分析相关知识
定义1[3]. 形式背景.称(G,M,I)为一个形式背景(二元背景),其中G是一个对象集,M是一个属性集,I是G和M之间的一个关系.分别称G和M的元素为对象和属性.
若对象g和属性m具有关系I,则记为gIm.
定义2[3]. 形式概念.设(G,M,I)为一个二元背景,X⊆G,B⊆M.若二元组(X,B)满足:X′=B,B′=X,则称(X,B)为形式概念(二元概念),其中：
X′={m∈M|∀g∈X,gIm},
B′={g∈G|∀m∈B,gIm}.
设T=(G,M,I)是二元背景,对任意的二元概念(X1,B1),(X2,B2)定义偏序关系为
(X1,B1)≤(X2,B2)⟺X1⊆X2(⟺B1⊇B2).
记L(G,M,I)或L(T)为二元背景T=(G,M,I)中所有二元概念构成的集合.容易证明L(T)是格,称其为二元背景T的概念格.在概念格L(T)上定 义上、下确界为
(X1,B1)∧(X2,B2)=(X1∩X2,(B1∪B2)″),
(1)
(X1,B1)∨(X2,B2)=((X1∪X2)″,B1∩B2),
(2)
则概念格L(T)是一个完备格.
∀g∈G,(g″,g′)∈L(T),称其为对象二元概念.
性质1[3]. 设T=(G,M,I)是一个二元背景,X,X1,X2为任意的对象子集,B,B1,B2为任意的属性子集,则有下列7条性质成立:
1) 若X1⊆X2,则
⊆
若B1⊆B2,则
⊆
2) X⊆X″,B⊆B″.
3) X′=X‴,B′=B‴.
4) (X1∩X2)′⊇
⊇
5) 
6) (X″,X′)∈L(T).
7) X⊆B′⟺B⊆X′.
1.2 三元概念分析相关知识
定义3[3]. 三元背景.称
=(K1,K2,K3,Y)为三元背景,其中K1,K2,K3为非空集合,Y为K1,K2,K3之间的关系,即Y⊆K1×K2×K3.分别称K1,K2,K3为对象集、属性集和条件集.分别称K1,K2,K3的元素为对象、属性和条件.
若对象g、属性a和条件c具有关系Y,则记为(g,a,c)∈Y,表示对象g在条件c下具有属性a,通常在三维交叉表的相应位置用“×”标出.
设=(K1,K2,K3,Y)为三元背景,{i,j,k}={1,2,3}且j<k,Xi⊆Ki,Z⊆Kj×Kk,文献[3]定义了(i)-诱导算子:
X(i)={(aj,ak)∈Kj×Kk|∀ai∈Ki,
ai,aj,ak具有关系Y},
Z(i)={ai∈Ki|∀(aj,ak)∈Z,
ai,aj,ak具有关系Y}.
注:根据(i)-诱导算子的定义可知,(i)-诱导算子相当于二元背景(i)=(Ki,Kj×Kk,Y(i))上的′算子,其中∀ai∈Ki,∀aj∈Kj,∀ak∈Kk有aiY(i)(aj,ak)等价于ai,aj,ak具有关系Y.
另外,Xi⊆Ki,Xj⊆Kj,Ak⊆Kk定义(i,j,Ak)-诱导算子为
∀(ai,ak)∈Xi×Ak,
ai,aj,ak具有关系Y},
∀(aj,ak)∈Xj×Ak,
ai,aj,ak具有关系Y}.
注:(i,j,Ak)-诱导算子相当于二元背景
=(Ki,Kj,
)上的′算子,其中∀ai∈Ki,∀aj∈Kj有(ai,aj)∈等价于∀ak∈Ak,ai,aj,ak具有关系Y.
定义4[3]. 三元概念.设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景,称(A1,A2,A3)为三元背景的一个三元概念,如果对任意的{i,j,k}={1,2,3},j<k,且Ai⊆Ki有 Ai=(Aj×Ak)(i).分别称A1,A2,A3为该三元概念的外延、内涵和方式.
三元背景=(K1,K2,K3,Y)的所有三元概念构成的集合记为J().
设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景,Xi⊆Ki,Xk⊆Kk,{i,j,k}={1,2,3},定义：
bik(Xi,Xk)
(A1,A2,A3),i≠k,
其中，AjXi(i,j,Xk),AiAj(i,j,Xk),Ak(Ai×Aj)(k).
命题1[6]. 设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景,Xi⊆Ki,Xk⊆Kk,{i,j,k}={1,2,3},则有bik(Xi,Xk)=(A1,A2,A3)∈J().
∀(B1,B2,B3)∈J(),若Xi⊆Bi,Xk⊆Bk,则Bj⊆Aj,且当Bj=Aj时,Ai⊇Bi,Ak⊆Bk.
一般来说,bik(Xi,Xk)≠bki(Xk,Xi),i≠k.
特别地,若(A1,A2,A3)∈J(),则bik(Ai,Ak)=bki(Ak,Ai)=(A1,A2,A3).
∀C⊆Kk,由(i,j,C)-诱导算子和(i)-诱导算子的定义可知,∀A⊆Ki,∀C⊆Kk有(A×C)(j)=A(i,j,C).所以,为书写方便起见,将(i,j,C)-诱导算子和(i)-诱导算子统一定义为A(C)(A×C)(j)=A(i,j,C).
2 三元概念的一种构造方法
在形式概念分析中,若(X,B)∈L(T),X≠∅,根据式(2)可知,
即任意一个外延非空的二元概念均可由某些对象二元概念通过∨运算生成.因此,在二元概念中有2类特殊的概念:外延为空集的二元概念(若存在的话)和对象二元概念.因为,剩余的二元概念均可以由某些对象二元概念通过∨运算生成.
考虑到二元概念中有上述2类特殊的概念,本节研究三元概念中是否也存在类似的2类三元概念.对比外延为空集的二元概念,研究外延、内涵和方式中有空集的三元概念具有的性质及判定方法.对比对象二元概念,在三元概念中寻找有类似作用的三元概念,可以通过这类三元概念生成剩余的三元概念.
2.1 一类特殊三元概念的性质
下面考虑三元概念的外延、内涵和方式中有空集时具有的性质.
引理1. 设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景,有3条成立:
1) J()中所有三元概念的外延均不为∅⟺若存在g∈K1使得∀(a,c)∈K2×K3有(g,a,c)∈Y.
2) J()中所有三元概念的内涵均不为∅⟺若存在a∈K2使得∀(g,c)∈K1×K3有(g,a,c)∈Y.
3) J()中所有三元概念的方式均不为∅⟺若存在c∈K3使得∀(g,a)∈K1×K2有(g,a,c)∈Y.
证明. 1)⟸若存在g∈K1使得∀(a,c)∈K2×K3有(g,a,c)∈Y,则根据定义4三元概念的定义可知,∀(A1,A2,A3)∈J()有g∈A1,即A1≠∅.
⟹(反证法) 若∀g∈K1,总存在(a,c)∈K2×K3使得(g,a,c)∉Y,则b23(K2,K3)=(∅,K2,K3),这与J()中所有三元概念的外延均不为∅矛盾.
类似地可以证明2)和3).
证毕.
引理1也可以理解为3条结论:
1) J()中所有三元概念的外延均不为∅⟺若按单个条件将三元背景分解为一系列二元背景,则所得所有二元背景中同一个对象所在的行全为×.
2) J()中所有三元概念的内涵均不为∅⟺若按单个条件将三元背景分解为一系列二元背景,则所得所有二元背景中同一个属性所在的列全为×.
3) J()中所有三元概念的方式均不为∅⟺按某一个条件分解的二元背景的所有行(列)全为×.
引理2给出了引理1的另一种等价的表达形式.
引理2. 设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景,(A1,A2,A3)∈J(),则有3条成立:
1) A1=∅⟺A2=K2,A3=K3.
2) A2=∅⟺A1=K1,A3=K3.
3) A3=∅⟺A1=K1,A2=K2.
2.2 三元概念的构造方法
设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景.以下假设K1,K2,K3为非空有限集合.不妨假设K1={g1,g2,…,gr},K2={a1,a2,…,as},K3={c1,c2,…,ct},其中r,s,t均为正整数.
定义5. 对象-条件三元概念.设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景.∀(gi,ck)∈K1×K3,记
b13(gi,ck)=(
,
,(×)(3)),
(3)
并称b13(gi,ck)为由对象gi和条件ck确定的对象-条件三元概念.
所有的对象-条件三元概念构成的集合记为OC={b13(gi,ck)|∀(gi,ck)∈K1×K3}.
定理1. 设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景,∀(A,C)⊆K1×K3,A≠∅,C≠∅,定义：
∨O C{b13(g,c)|(g,c)∈A×C}=(B1,B2,B3),
(4)
其中：
B2=∩{g(c)|(g,c)∈A×C},
B3=∩{g(B2)|g∈A},B1=
,
则(B1,B2,B3)∈J().
证明. 根据(B1,B2,B3)的定义可知,B1=
.所以要证(B1,B2,B3)∈J(),只需要证明 
=B3和
=B2成立即可.
首先证明
=B3.因为∀g∈K1,(g(B2)(B2),g(B2))是二元背景
的一个二元概念,所以根据B3的定义、式(2)和性质1中的5)知,(
,B3)仍为二元背景的一个二元概念,即
=B3.再结合B1的定义可得,=B3.
其次证明 =B2.显然有,B2⊆.另一方面,容易验证A⊆B1,且根据B2的定义知,若c∈C,则∀g∈A,∀a∈B2有(g,a,c)∈Y,即 ∀g∈A,c∈g(B2).所以c∈B3,因此有C⊆B3.又因为若a∈,则∀c∈B3,∀g∈B1有(g,a,c)∈Y.再结合A⊆B1和C⊆B3可得,∀c∈C,∀g∈A有(g,a,c)∈Y,即a∈B2.所以,B2⊇.于是,=B2.
综上所述,(B1,B2,B3)∈J().
证毕.
定理1说明:对象-条件三元概念通过∨O C-运算可以生成一个三元概念.
下面定理2说明任意一个三元概念若它的外延和方式均为非空集合,则它可以由某些对象-条件三元概念通过∨O C-运算生成.
定理2. 设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景,(A1,A2,A3)∈J(),且A1,A3为非空集合.则有(A1,A2,A3)=∨O C{b13(g,c)|(g,c)∈A1×A3}.
证明. 由定理1知,∨O C{b13(g,c)|(g,c)∈A1×A3}∈J(),将其记为(B1,B2,B3).下面证明:(B1,B2,B3)=(A1,A2,A3).
根据定理1中式(4)给出的∨O C-运算的定义知,B2=∩{g(c)|(g,c)∈A1×A3},B3=∩{g(B2)|g∈A1},B1=.
首先证明A2=B2.因为(A1,A2,A3)∈J(),所以若a∈A2,则∀(g,c)∈(A1,A3)有(g,a,c)∈Y,即∀(g,c)∈(A1,A3)有a∈g(c).从而,A2⊆g(c).于是,A2⊆B2.另一方面,若a∈B2,则∀(g,c)∈(A1,A3)有a∈g(c).即∀(g,c)∈(A1,A3)有(g,a,c)∈Y,所以a∈A2.从而,B2⊆A2.再结合A2⊆B2可得,A2=B2.
再来证明A3=B3.因为(A1,A2,A3)∈J(),所以若c∈A3,则∀(g,a)∈(A1,A2)有(g,a,c)∈Y,即∀g∈A1有
从而,A3⊆
于是,A3⊆
∀g∈A1}=∩{g(B2)|∀g∈A1}=B3.
反之,若
∀g∈A1},则∀
从而,∀(g,a)∈(A1,A2)有(g,a,c)∈Y,即c∈A3.所以,A3⊇B3.再结合A3⊆B3可得,A3=B3.
证毕.
结合定理1和定理2可得推论1.
推论1. 设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景,
J()\{(∅,K2,K3),(K1,K2,∅)}=
2.3 构造三元概念的步骤
二元背景是由对象集和属性集构成的二维交叉表.三元背景可以看作是在二元背景的基础上添加了条件集后的三维交叉表.因此,一个三元背景可以根据它的每一个条件分解成一系列的二元背景.设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景,其中 K1={g1,g2,…,gr},K2={a1,a2,…,as},K3={c1,c2,…,ct},其中r,s,t均为正整数.按照条件集K3的t个元素将三元背景分解为t个二元背景,分别记为
1) 由二元背景
的对象二元概念可以生成三元背景的所有对象-条件三元概念.
事实上,根据定义5,∀(gi,ck)∈K1×K3,b13(gi,ck)=(
,
,(×)(3))可知,由对象gi和条件ck确定的对象-条件三元概念的外延和内涵恰好是二元背景
上由gi确定的对象二元概念.换句话说,∀(gi,ck)∈K1×K3,可以将对象二元概念(,)扩展为对象-条件三元概念b13(gi,ck)=(,,(×)(3)).
2) ∀ck∈K3,若(A1,A2)∈L(
则
),即的任意一个二元概念都是三元背景的某个三元概念的外延和内涵.
下面给出构造三元概念的4个步骤.
步骤1. ∀ck∈K3,生成二元背景上所有的对象二元概念(,),∀gi∈K1.
步骤2. ∀(gi,ck)∈K1×K3,计算(×)(3)生成对象-条件三元概念b13(gi,ck).
步骤3. ∀(A,C)⊆K1×K3,A≠∅,C≠∅,且(A,C)≠(,),∀(gi,ck)∈K1×K3,生成三元概念∨O C{b13(gi,ck)|(gi,ck)∈A×C}.
步骤4. 根据引理1判断(∅,K2,K3),(K1,K2,∅)是否为三元概念.
如果概念格L(∀ck∈K3已知,则可将上述构造三元概念的步骤1～3进行简化,具体如下:
步骤1. 由每个二元概念(A1,A2)生成三元概念
其中由对象二元概念(,)生成的三元概念记为b13(gi,ck).
步骤2. 记：
∀(A1,A2)∈L(
∀ck∈K3},
∀(A1,A2)∈L(
∀ck∈K3}.
∀(A,C)⊆
且A≠∅,C≠∅,生成三元概念∨O C{b13(gi,ck)|(gi,ck)∈A×C}.
3 实 例
本节利用文献[9]中的例子对第2节提出的三元概念的构造方法作详细说明,并以此例简要说明所得三元概念在知识发现中的作用.
例1. 设=(K1,K2,K3,Y)是一个三元背景,其中对象集K1由耶稣12使徒构成,即K1={Peter,Andrew,James,John,Philip,Thomas,Matthew,James A (James Alphaeus),Thadaeus,Simon,Judas}.属性集K2由福音的36节构成,即K2={1,2,…,36},具体含义如表1所示.条件集K3由《马太福音》(MT)、《马可福音》(MK) 和《路加福音》(LK)构成,即K3={MT,MK,LK}.
Table 1 The Attribute Set K2
表1 属性集K2
NumberThe Passages1Four Fisherman Called as Disciples2Peters Mother-in-Law Healed3Preaching in Galilee4The Miraculous Draught of Fishes5Matthew the Tax Collector6A Girl Restored to Life and a Woman Healed7Sending out the Twelve Apostles8A Sinful Woman Forgiven9Feeding the Five Thousand10Jesus Walks on the Sea11Peter Confesses Jesus as Christ12Jesus Transfigured on the Mount13Jesus Forbids Sectarianism14A Samaritan Village Rejects the Savior15Jesus Counsels the Rich Young Ruler16Greatness is Serving17Jesus Predicts the Destruction of the Temple18The Death of Lazarus19The Fruitful Grain of Wheat20The Way,the Truth and the Life21Jesus Promises Another Helper22Seeing and Believing23The Anointing at Bethany24Judas Agrees to Betray Jesus25Preparation of the Passover26Jesus Announces the Betrayal of Judas27Jesus Predicts Peters Denial
Continued (Table 1)
NumberThe Passages28The Prayer in the Garden29Betrayal and Arrest in Gethsemane30Jesus Faces the Sanhedrin.31Peter Denies Jesus,and Weeps Bitterly32Judas Hangs Himself33He Is Risen34The Road to Emmaus35Breakfast by the Sea36Jesus Restores Peter
由于属性较多,受页面的限制,下面将三元背景分别按3个条件MT,MK,LK分解为3个二元背景,分别记为
如表2～4所示.每个二元背景中×表示在该福音中的该节提到了该使徒.譬如,表2的二元背景
中左上角第1个×表示在《马太福音》中第1节提到使徒Peter.
另外,若在某个条件c∈K3下,12个对象均不具有某个属性a∈K2,则称该属性a为二元背景
的冗余属性.表2～4所示3个二元背景均去掉了冗余属性以节省空间.如表2缺少属性3,6,9,13,14,17～23,25,33～36,则表示在二元背景中,12个对象均不具有这些属性,也就是说在《马太福音》中第3,6,9,13,14,17～23,25,33～36节中均没有提到耶稣12使徒中的任何1人.图1～3分别给出了3个二元背景的概念格.
Table 2 The Dyadic Context 
表2 二元背景
K1K2 without Redundant Attributes12457810111215162426272829303132Peter×××××××××××××Andrew××××James××××××John×××××Philip×Bartholomew×Thomas×Matthew××James A×Thadaeus×Simon×Judas×××××
Note: “×” mean the persons are mentioned in the corresponding passages of MT Gospel.
Table 3 The Dyadic Context 
表3 二元背景
K1K2 without Redundant Attributes1234567811121315161724272829303133Peter××××××××××××××××Andrew××××××James×××××××××John×××××××××Philip×Bartholomew×Thomas×Matthew××James A×Thadaeus×Simon×Judas×××
Note: “×” mean the persons are mentioned in the corresponding passages of MK Gospel.
Table 4 The Dyadic Context 
表4 二元背景
K1K2 without Redundant Attributes124567111213141524252729303134Peter×××××××××××××Andrew×James××××××John××××××××Philip×Bartholomew×Thomas×Matthew××James A×Thadaeus×Simon×Judas×××
Note: “×” mean the persons are mentioned in the corresponding passages of LK Gospel.
步骤1. 由图1～3所示的所有对象二元概念生成14个对象-条件三元概念,具体为
Fig. 1 The concept lattice L(
)
图1 概念格L()
Fig. 2 The concept lattice L(
)
图2 概念格L()
Fig. 3 The concept lattice L(
)
图3 概念格L()
1) b13({Philip},{MT})=b13({Philip},{MK})=b13({Philip},{LK})=b13({Bartholomew},{MT})=b13({Bartholomew},{MK})=b13({Bartholomew},{LK})=b13({Thomas},{MT})=b13({Thomas},{MK})=b13({Thomas},{LK})=b13({James A},{MT})=b13({James A},{MK})=b13({James A},{LK})=b13({Thadaeus},{MT})=b13({Thadaeus},{MK})=b13({Thadaeus},{LK})=b13({Simon},{MT})=b13({Simon},{MK})=b13({Simon},{LK})=b13({Andrew},{LK})=(K1,{7},K3);
2) b13({Matthew},{MT})=b13({Matthew},{MK})=b13({Matthew},{LK})=({Matthew},{5,7},K3);
3) b13({Peter},{MT})=({Peter},{1,2,4,7,8,10,11,12,15,27,28,30,31},{MT});
4) b13({Andrew},{MT})=({Peter,James,John,Andrew},{1,4,7},{MT,MK});
5) b13({James} ,{MT})=b13({John},{MT})=({James,John},{1,4,7,12,16,28},{MT,MK});
6) b13({Judas},{MT})=({Judas},{7,24,26,29,32},{MT});
7) b13({Peter},{MK})=({Peter},{1,2,3,4,6,7,8,11,12,15,17,27,28,30,31,33},{MK});
8) b13({Andrew},{MK})=({Peter,James,John,Andrew},{1,2,4,7,17},{MK});
9) b13({James},{MK})=({James,John},{1,2,4,6,7,12,16,17,28},{MK});
10) b13({John},{MK})=({John},{1,2,4,6,7,12,13,16,17,28},{MK});
11) b13({Judas},{MK})=b13({Judas},{LK})=({Judas},{7,24,29},K3);
12) b13({Peter},{LK})=({Peter},{1,2,4,6,7,11,12,15,25,27,30,31,34},{LK});
13) b13({James},{LK})=({James,John},{1,4,6,7,12,14},{LK});
14) b13({John},{LK})=({John},{1,4,6,7,12,13,14},{LK}).
步骤2. 由图1～3中剩余二元概念可生成5个不同的三元概念:
15) ({Peter,James,John},{1,4,7,12,28})|→({Peter,James,John},{1,4,7,12,28},{MT,MK});
16) (∅,K2)|→(∅,K2,K3);
17) ({Peter,James,John},{1,2,4,6,7,12,17,28})|→({Peter,James,John},{1,2,4,6,7,12,17,28},{MK});
18) ({Peter,John},{1,4,6,7,12,25})|→({Peter,John},{1,4,6,7,12,25},{LK});
19) ({Peter,James,John},{1,4,6,7,12})|→({Peter,James,John},{1,4,6，7,12},{MK,LK}).
步骤3. ∀(A,C)⊆
∅,C≠∅,计算∨O C{b13(gi,ck)|(gi,ck)∈A×C},可得5个不同的三元概念:
20) ∨O C{b13(g,c)|g∈{Peter},c∈{MT,MK}}=({Peter},{1,2,4,7,8,11,12,15,27,28,30,31},{MT,MK});
21) ∨O C{b13(g,c)|g∈{Peter},c∈K3}=({Peter},{1,2,4,7,11,12,15,27,30,31},K3);
22) ∨O C{b13(g,c)|g∈{Peter},c∈{MK,LK}}=({Peter},{1,2,4,6,7,11,12,15,27,30,31},{MK,LK});
23) ∨O C{b13(g,c)|g∈{John},c∈{MK,LK}}=({John},{1,4,6,7,12,13},{MK,LK});
24) ∨O C{b13(g,c)|g∈{Peter,John},c∈K3}=({Peter,James,John},{1,4,7,12},K3).
步骤4. 由引理1可知,(K1,K2,∅)是的第25个三元概念,(K1,∅,K3)不是的三元概念.
综之,例1中三元背景共有上述25个三元概念.
Fig. 4 The triadic diagram of the triadic context
图4 三元背景上的三元图
为了更直观地描述三元概念,图4给出了例1中25个三元概念构成的三元图.图4正上方的线图中每一个圆圈表示1个三元概念的方式,它包含该圆圈处所示的条件及其右侧线段相连处圆圈所示的条件(注意箭头所示方向),因此称正上方的线图为方式图.左下方的线图中每一个圆圈表示1个三元概念的内涵,它包含该圆圈处所示的属性及其左上方线段相连处圆圈所示的属性,称左下方的线图为内涵图.类似地,右下方的线图中每一个圆圈表示1个三元概念的外延,它包含该圆圈处所示的对象及其左下方线段相连处圆圈所示的对象,称右下方的线图为外延图.三元图中间的倒三角区域中每个圆圈代表1个三元概念,它通过虚线分别与外延图、内涵图和方式图中的圆圈相连,分别表示该三元概念的外延、内涵和方式.例如三元图中间倒三角区域从上面数第1行左侧第1个圆圈表示第1个三元概念,从上面数第2行左侧第2个圆圈表示第4个三元概念.
根据例1生成的三元概念,可以回答3个方面问题:
1) 在《路加福音》(LK) 中使徒James出现在哪几节?在这几节中还同时提到了哪些使徒？他们是否还在其他福音的这几节中出现？
由第13个三元概念可知,James出现在《路加福音》(LK) 的第1,4,6,7,12,14节;在这几节中同时提到了John;James和John只在《路加福音》(LK) 的这几节中出现.
2) James和John还同时在哪些福音的哪几节中出现?在这些福音书的这几节中是否还同时提到了其他使徒?
这些问题可以由第4,5,8,9,13,15,17,19,24个三元概念给出答案.
3) 基于对象的三元蕴含问题.
设=(K1,K2,K3,Y)为三元背景,M,N⊆K1,C⊆K3.若对所有的a∈K2满足:
(M×{a}×C)⊆Y⟹(N×{a}×C)⊆Y,
则称在条件集C下三元对象蕴含(M→N)C在中成立.特别地,当C=K3时,三元对象蕴含(M→N)C简记为M→N.
三元对象蕴含(M→N)C相当于二元背景
下M和N之间的对象蕴含.所以,三元对象蕴含(M→N)C在中成立当且仅当N⊆M(C)(C).M(C)(C)恰好是由对象子集M和条件子集C生成的三元概念的外延,可由定理1和定理2生成.譬如,根据例1中第24个三元概念的生成过程可知:{Peter,John}(K3)(K3)={Peter,James,John},所以{Peter,John}→{James}成立,即在上述3本福音中只要提到使徒Peter和John的章节一定提到了使徒James.
注:形式背景的属性蕴含相关问题详见文献[1-2,33],三元蕴含相关问题详见文献[9-10].
4 总 结
三元概念中有2类特殊的概念:外延、内涵以及方式中有空集的三元概念(如果存在的话)和对象-条件三元概念,因为剩余的三元概念均可以由某些对象-条件概念生成.本文给出了外延、内涵和方式中有空集的三元概念的判定方法,并提出了一种基于对象-条件三元概念生成剩余的三元概念的方法.在本文的基础上可以进一步考虑三元背景简化及规则获取等相关问题.
[1]Wille R. Restructuring lattice theory: An approach based on hierarchies of concepts[G] //Ordered Sets. Dordrecht: Reidel, 1982: 445-470
[2]Ganter B, Wille R. Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations[M]. Berlin: Springer, 1999: 17-61
[3]Lehmann F, Wille R. A triadic approach to formal concept analysis[G] //LNCS 954: Proc of the 3rd Int Conf on Conceptual Structures—Applications, Implementation and Theory. Berlin: Springer, 1995: 32-43
[4]Wei Ling, Qian Ting, Wan Qing, et al. A research summary about triadic concept analysis[J]. International Journal of Machine Learning and Cybernetics, 2018, 9(4): 699-712
[5]Wei Ling, Wan Qing, Qian Ting, et al. An overview of triadic concept analysis[J]. Journal of Northwest University: Natural Science Edition, 2014, 44(5): 689-699 (in Chinese)(魏玲, 万青, 钱婷, 等. 三元概念分析综述[J]. 西北大学学报: 自然科学版, 2014, 44(5): 689-699)
[6]Wille R. The basic theorem of triadic concept analysis[J]. Order, 1995, 12(2): 149-158
[7]Biedermann K. Triadic Galois connections[G] //General Algebra and Applications in Discrete Mathematics. Aachen: ShakerVerlag, 1997: 23-33
[8] Biedermann K. An equational theory for trilattices[J]. Algebra Universalis, 1999, 42(4): 253-268
[9]Biedermann K. How triadic diagrams represent conceptual structures[G] //LNCS 1257: Proc of the 5th Int Conf on Conceptual Structures—Fulfilling Peirce’s Dream. Berlin: Springer, 1997: 304-317
[10]Ganter B, Obiedkov S A. Implications in triadic formal contexts[G] //LNCS 3127: Proc of the 12th Int Conf on Conceptual Structures. Berlin: Springer, 2004: 186-195
[11]Missaoui R, Kwuida L. Mining triadic association rules from ternary relations[G] //LNCS 6628: Proc of the 9th Int Conf on Formal Concept Analysis. Berlin: Springer, 2011: 204-218
[12]Dau F, Wille R. On the modal understanding of triadic context[G] //Classification and Information Processing at the Turn of the Millennium. Berlin: Springer, 2000: 83-94
[13]Jaschke R, Hotho A, Schmitz C, et al. TRIAS —An algorithm for mining iceberg trilattices[C] //Proc of the 6th Int Conf on Data Mining. Piscataway, NJ: IEEE, 2006: 907-911
[14]Kavtoue M, Kuznetsov S, Macko J, et al．Minging biclusters of similar values with triadic concept analysis[C] //Proc of the 8th Int Conf on Concept Lattices and Their Applications. Berlin: Springer, 2011: 175-190
[15]Kaytoue M, Kuznetsov S O, Macko J, et al. Biclustering meets triadic concept analysis[J]. Annals of Mathematics and Artificial Intelligence, 2014, 70(1/2): 55-79
[16]Belohlavek R, Vychodil V. Optimal factorization of three-way binary data[C] //Proc of 2010 IEEE Int Conf on Granular Computing. Piscataway, NJ: IEEE, 2010: 61-66
[17]Glodeanu C. Factorization methods of binary, triadic, real and fuzzy data[J]. Studia Universitatis Babes-Bolyai Series Informatica, 2011, 56(2): 81-86
[18]Belohlavek R, Glodeanu C, Vychodil V. Optimal factorization of three-way binary data using triadic concepts[J]. Order, 2013, 30(2): 437-454
[19]Cynthia G. Tri-ordinal factor analysis[G] //LNCS 7880: Proc of the 11th Int Conf on Formal Concept Analysis. Berlin: Springer, 2013: 125-140
[20]Belohlavek R, Osicka P. Triadic concept analysis of data with fuzzy attributes[C] //Proc of 2010 IEEE Int Conf on Granular Computing. Piscataway, NJ: IEEE, 2010: 661-665
[21]Belohlavek R, Osicka P. Triadic concept lattices of data with graded attributes[J]. International Journal of General System, 2012, 41(2): 93-108
[22]Konecny J, Osicaka P. Triadic concept lattices in the framework of aggregation structures[J]. Information Sciences, 2014, 279(1): 512-527
[23]Glodeanu C. Fuzzy-Valued triadic implications[C/OL] //Proc of the 7th Int Conf on Concept Lattices and Their Applications. 2011: 159-173. [2017-11-12] . http://www.ceur-ws.org/Vol-959/paper11.pdf
[24]Belohlavek R, Osicka P. Triadic fuzzy Galois connections as ordinary connections[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2014, 249: 83-99
[25]Groh B, Wille R. Lattices of triadic concept graphs[G] //LNCS 1867: Proc of the 8th Intl Conf on Conceptual Structures. Berlin: Springer, 2000: 332-341
[26]Tang Yaqiang, Fan Min, Li Jinhai. Cognitive system model and approach to transformation of information granules under triadic formal concept analysis[J]. Journal of Shandong University: Natural Science, 2014, 49(8): 102-106 (in Chinese)
(汤亚强, 范敏, 李金海. 三元形式概念分析下的认知系统模型及信息粒转化方法[J]. 山东大学学报: 理学版, 2014, 49(8): 102-106)
[27]Roman Z, Ignatov D I, Konstantinova N. Concept learning from triadic data[J]. Procedia Computer Science, 2014, 31: 928 -938
[28]Hao Fei, Park D S, Min Geyong, et al. K-Cliques mining in dynamic social networks based on triadic formal concept analysis[J]. Neurocomputing, 2016, 209(C): 57-66
[29]Kumar C A, Mouliswaran S C, Li Jinhai, et al. Role based access control design using triadic concept analysis[J].Journal of Central South University, 2016, 23(12): 3183-3191
[30]Wang Xia, Zhang Qian, Li Junyu, et al. Triadic concept analysis based on rough set theory[J]. Journal of Shandong University: Natural Science, 2017, 52(7): 37-43 (in Chinese)
(王霞, 张茜, 李俊余, 等. 基于粗糙集的三元概念分析[J]. 山东大学学报: 理学版, 2017, 52(7): 37-43)
[31]Qi Jianjun, Wei Ling. Simplification of triadic contexts and concept trilattices[J]. Computer Science, 2017, 44(9): 53-57 (in Chinese)
(祁建军, 魏玲. 三元背景及概念三元格的简化[J]. 计算机科学, 2017, 44(9): 53-57)
[32]Li Zhen, Zhang Zhuo, Wang Liming. Research text classification algorithm based on triadic concept analysis[J]. Computer Science, 2017, 44(8): 207-215 (in Chinese)
(李贞, 张卓, 王黎明. 基于三元概念分析的文本分类算法研究[J]. 计算机科学, 2017, 44(8): 207-215)
[33]Xue Jinrong, An Qiusheng, Zheng Jun. Intent reduction of concept lattice and database inference dependence[J]. Journal of Computer Research and Development, 2014, 51(1): 96-103 (in Chinese)
(薛金蓉, 安秋生, 郑 军. 概念格的内涵缩减与数据库推理依赖[J]. 计算机研究与发展, 2014, 51(1): 96-103)
