分别表示复矢量的欧几里德范数和复数标量的绝对值；U≥0表示矩阵是正半正定的；E[U]表示数学期望；IN表示N×N单位矩阵；变量u服从具有零均值和方差σ2的对称复高斯随机变量的分布定义为：u～CN(0,σ2).利用从周围环境中捕获的无线能量代替传统的有线电或电池来给网络中的无线设备供电，具有很重要的现实意义和实用价值.基于射频(radio frequency， RF)信号的信息传输和能量捕获技术已经成为新一代无线通信网络中传输数据和提供电能的替代方法.而探索新的方法或技术来提高无线系统的性能对促进无线网络的发展起着至关重要的作用.基于射频信号，采用无线携能通信(simultaneous wireless information and power transfer, SWIPT)技术实现携带信息波和能量波的RF信号在无线网络中的传输已成为未来研究的发展趋势，为实现通过能量捕获来给无线设备供电提供了理论基础[1-3].
基于无线通信传输系统，人们提出了2种不同的能量收集策略，即基于功率分流(power splitting, PS)的中继协议和基于时间切换(time switching, TS)的中继协议[4-7].其中，文献[5]提出了使用多天线和协调多点系统来减少路径损耗并提高系统效率.鉴于中继技术对扩展网络传输范围、提高系统吞吐量等起着重要作用，文献[6-7]考虑在能量受限的半双工(half-duplex, HD)中继系统中应用SWIPT技术.文献[8-10]以最大化吞吐量为优化目标来描述系统性能，并采用半定松弛(semi-determined relaxation， SDR)方法去求解问题.
本文的主要贡献包括4个方面：
1) 提出了具有SWIPT和自能量回收的非分时全双工中继系统，通过应用SWIPT技术实现信息与能量的同步传输；
2) 利用空闲的可供电无线终端设备作为能量接入点(energy access point, EAP)，实现能量受限的中继利用从源节点和多个相似EAP捕获的能量来提供自身工作的电能消耗；
3) 通过模拟实验说明了所提出系统的性能在解码转发(decode-and-forward, DF)协议下优于在放大转发(amplify-and-forward, AF)协议下的系统性能；
4) 对比了半双工(half-duplex with SWIPT, HD-SWIPT)和传统全双工(full-duplex without SWIPT, FD-no-SWIPT)中继系统，实验验证了所提出的方案在提高系统性能方面具有更显著的增益.
最近，关于在无线传输网络中应用自能量回收的技术已成为众多研究者关注的对象.人们初步探讨了将自能量回收技术应用于点对点无线通信系统和无线中继系统中，能量受限的节点仅利用从接入点捕获的专有能量和自回收能量进行数据传输[11-14].其中，文献[13-14]考虑了联合发射波束成形和接收功率分配设计在下行链路中采用SWIPT的多用户广播系统，提出了用非凸优化的二阶锥规划松弛方法来解决联合优化问题.
在文献[15-17]中，一种具有自能量回收的无线供电全双工中继系统被提出，人们在传统3阶段传输协议基础上提出了采用一种新颖的两阶段传输协议.文献[16]考虑了在具有自能量回收的全双工(full-duplex, FD)点对点系统中采用SWIPT技术，并通过应用SDR解决给出信噪比和捕获能量约束的非凸问题.而具有自能量回收的全双工无线中继系统的安全波束成形也得到深入研究[18-20].但是，现有对无线中继系统的研究都是基于传统3阶段、2阶段分时传输协议下进行的信息与能量分别传输，且提出的SWIPT技术还没有得到更广泛的应用，而在全双工中继系统中结合应用SWIPT和自能量回收技术的研究比较少，是一个新的研究方向和挑战.
本文提出一个具有SWIPT和自能量回收的非分时全双工中继系统.该系统充分利用复杂网络中处于中继附近的多个空闲的可存储电能的无线设备作为EAP，应用SWIPT技术在源节点传输携带信息和能量的RF信号到中继，能量受限的中继采用PS方案对接收的RF信号进行信息解码(information decoding, ID)和能量捕获(energy harvesting, EH)，且通过捕获来自源节点的专有能量和多个相似EAP的补充能量来协作传输数据到目的节点.由于中继的全双工传输模式，使得中继可通过环路信道捕获部分自回收的能量，且由于系统的非分时传输特性实现了信息传输、能量传输和协作传输在1个时间块中同步进行.为了最大化系统吞吐量，系统采用二次优化、SDR和变量消减方法将原多变量非凸问题转换为半定规划问题，运用拉格朗日方法进行求解，并联合优化了中继发射功率、中继发射波束成形向量和功率分配比率.仿真实验说明了所提出的系统性能的优越性.
本文先描述所提出的SWIPT全双工中继系统模型；重点阐述在AF和DF下的系统吞吐量优化问题及最优解；然后简要介绍半双工和传统全双工2个对比中继系统；再给出模拟实验结果并进行系统性能分析；最后，对全文的研究内容进行概括总结.
本文中用U∈CM×N表示复矩阵U是M×N型的，复矩阵U的厄密共轭转置、转置、轨迹和秩分别用UH，UT，tr(U)，rank(U)表示；并用分别表示复矢量的欧几里德范数和复数标量的绝对值；U≥0表示矩阵是正半正定的；E[U]表示数学期望；IN表示N×N单位矩阵；变量u服从具有零均值和方差σ2的对称复高斯随机变量的分布定义为：u～CN(0,σ2).
考虑了采用无线携能通信技术的具有自能量回收的全双工中继系统，本文提出了如图1所示的中继系统结构.在该系统结构中，配备有多根发射天线的源节点，把RF信号发射到具有双接收天线和多根发射天线的中继节点，中继的一根接收天线用于接收来自源节点的信号，另一根天线捕获从EAP传输来的能量，源节点发送的信息经中继协作传输到配备单根接收天线的目的节点，多个EAP作为能量受限中继的能量补给站[3].设定EAP是复杂网络中处于中继附近的可存储电能无线设备，当该无线设备有能量剩余时可给中继供电，这样使得无线设备存储的多余能量不至于浪费.中继可通过环路信道进行自能量回收，从而无需额外配置硬件或采用其他方法去消除自干扰.
Fig. 1 SWIPT full-duplex relay system
图1 SWIPT全双工中继系统
图2给出了系统中继接收端的结构设计图.接收端根据已有研究提出的PS方案将接收的RF信号分成信息流和能量流，其中以ρ∈(0,1)的功率分配比用于ID，以1-ρ的功率分配比用于EH[13].本文在能量受限的中继处设置功率分配器进行ID和EH，中继通过能量捕获器将从源节点和EAP捕获的能量转换为可供中继运作的电能并存储在可存储电池中，被捕获的能量用于发射信息到目的节点.
Fig. 2 SWIPT full-duplex relay receiver structure
图2 SWIPT全双工中继接收端结构
本文提出的中继系统传输协议如图3所示.不同于传统的分时隙阶段型传输信息与能量的中继系统，本文系统在整个传输时隙块中，实现信息传输、能量捕获和协作传输在1个时间块中同步进行.
Fig. 3 Relay transmission protocol with SWIPT
图3 SWIPT中继传输协议
假设所有的信道是静态衰落信道，信道状态信息(channel state information, CSI)是已知的.从源节点到中继采用最大比率传输(maximum rate trans-mission, MRT)方案[15]，则源节点发射波束成形向量
它的下行链路信道表示为h∈CM×1，从中继到目的节点的上行链路信道表示为g∈CN×1，在中继处的环路信道用f∈CN×1表示，为了简便计算将持续时间块标准化.第i个能量接入点传送能量到中继的信道用ei表示(i=1,2,…,k)；θi表示中继从第i个EAP捕获的能量值，忽略EAP到源节点的噪声.由无线信号传输原理，则中继从源节点接收的信号可以表达为
(1)
其中,x～CN(0,1),PS分别是在源节点处的发射标志和发射功率；y～CN(0,1),PR,v∈C
分别是在中继处的发射标志、发射功率、发射波束成形向量和接收器处的天线噪声，等式右边的第2项是由于环路信道在中继处产生的自干扰信号.
在中继处采用PS方案将接收信号YR进行ID和EH后分为信息流
和能量流
其表达式分别为
(2)
(3)
通过消除自干扰信号后，接收到的信息信号可表示为
(4)
其中n～CN(0,σ2)是在中继处进行ID后额外引入的加性高斯白噪声.在目的节点处接收的信号为
(5)
其中
是在目的节点接收器处具有零均值和方差为
的加性高斯白噪声.
忽略噪声n2携带的能量，用0<η<1表示能量转换效率，则中继捕获的总能量表示为
(6)
忽略自干扰信号，在中继处的第2跳(源节点到中继)的信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)表示为
(7)
在目的节点处的第2跳(中继到目的节点)的SNR表示为
(8)
忽略时间延迟τ，系统从源节点到目的节点整个链路的综合SNR可表示为
(9)
其中
首先考虑在所提中继系统中采用放大转发协议的情况，用δ表示放大系数，则其表达式为
(10)
因此，在基于AF协议下，代入综合SNR来表示系统的吞吐量Th为
Th=lb(1+γ)=
(11)
由于该吞吐量方程式复杂难解，因此将最大化吞吐量目标转化为其等效且更易求解的最小化目标函数Z.对综合SNR进行化简，使得分式中分子为常量
由于分母中的
为常量，则函数Z为
(12)
在目标函数中包含PR，ρ是考虑了系统自能量回收及能量-速率平衡带来的系统效益.为了保证系统持续的信息传输以及延长中继的生命周期，中继捕获的能量需要高于给定的能量目标阈值ε，并且为保证中继持续稳定的运行，中继发射功率PR值不应该高于ε .最优化问题可以描述为：
问题P0:
(13)
0<PR≤ε,
(14)
0<ρ<1.
(15)
显然，由于PR，ρ和波束成形向量v的耦合以及v在约束中的二次项使得原始问题是非凸的，采用半定规划方案来解决原始优化问题.
为计算简洁采用变量消减法，用ρR，vR，θ作为计算变量的替代符号，令
由此知
则
从EAP捕获的总能量用
表示.
定义
CN×N,G=ggH∈CN×N，F=ffH∈CN×N都是秩1矩阵，由于问题矩阵的秩1约束是非凸且难以求解的，因此丢弃矩阵秩约束条件.将替代变量代入优化问题P0后，再应用SDR方法将问题P0的目标函数及约束条件对应转换为更易求解的半定松弛优化问题P0-SDR如下.
问题P0-SDR:
(16)
0<tr(VR)≤ε,
(17)
σ2<ρR,
(18)
VR
0,
(19)
其中VR0表示VR为正半定矩阵，P0-SDR问题可以通过现有的优化软件求出最优解.若半定规划问题的最佳波束形成矩阵
满足
则原始问题P0的最优解等价于问题P0-SDR[16].本文利用拉格朗日方法求解不等式约束优化，并根据约束优化的KKT条件设置拉格朗日函数来求得最优解[21],为每个约束定义拉格朗日乘数变量λ1≥0，λ2≥0，λ3≥0，Φ≥0，则问题P0-SDR对应的拉格朗日函数是
λ2(-tr(VR)+ε)-λ3(ρR-σ2)-tr(ΦVR),
(20)
由此，可推导出
(21)
(22)
问题P0-SDR的式(16)在最优点满足式(22).由于中继最优波束成形矩阵满足
因此原始问题P0与问题P0-SDR同解，原始问题P0的最优解
可以从P0-SDR的最优解
获得.优化问题的求解过程及最优解推导证明在附录A中详细描述.
本节描述了所提出的系统在采用DF中级协议下的系统性能，忽略时间延迟τ，采用DF的系统从源节点到中继与中继到目的节点的吞吐量ThSR，ThRD分别为：
1) 当信噪比γ1<γ2时，有
(23)
2) 当信噪比γ1≥γ2时，有
(24)
因此解码转发中继系统的吞吐量可表示为
Th=min{lb(1+γ1),lb(1+γ2)}.
(25)
由上，可建立中继系统吞吐量的等效优化问题并求解，由于其问题描述及求解方法与在AF协议下相似，不再重复描述.当信噪比γ1<γ2时，可得出与AF协议下相同的求解结果；当信噪比γ1≥γ2时，可推导出
满足秩为1.
本节简要介绍半双工中继系统和传统全双工中继系统，它们都是分时传输中继系统.在半双工中继系统仍采用SWIPT技术，但由于半双工传输特性使得该系统不具有能够进行自能量回收的条件；在传统全双工中继系统中不采用SWITP技术，但能够进行自能量回收.除了是否配置功率分配器和中继传输协议有不同，这2个对比中继系统的硬件配置和其他假设条件与所提出系统相同.
Fig. 4 HD relay transmission protocol with SWIPT
图4 具有SWIPT的半双工中继传输协议
半双工中继系统简要缩写为HD-SWIPT.由于在第1阶段应用SWIPT技术实现信息能量传输，所以在中继处需配置功率分配对RF信号进行ID和EH.该半双工中继系统传输协议如图4所示，其将总传输时隙块T分为2个T
2时隙，在第1阶段源节点同步传输信息与能量到中继，同时中继捕获来自EAP的能量，在第2阶段中继利用捕获的能量放大转发信息到目的节点，由于中继系统的半双工传输特性，使得系统不存在从环路信道进行回收的能量.
第1阶段.在中继处接收的信号进行ID和EH后可分别描述为
(26)
(27)
第2阶段.在目的节点接收到的信号为
(28)
因此，系统捕获的总能量为
(29)
忽略时间延迟τ，系统吞吐量表达式为
(30)
将优化目标转换为等效的半定规划问题P1.
问题P1:
(31)
0<PR≤ε,
(32)
0<ρ<1.
(33)
同理，应用SDR、秩松弛、变量消减和拉格朗日方法对原始问题P1进行转化及求解.
传统全双工中继系统简要缩写为FD-no-SWIPT.在该中继系统中不采用SWIPT技术，信息和能量分时传输，所以无需配置功率分配器进行信号分流.其传输过程分2个阶段，在前T2，从源节点传送信息到中继，在后T2，中继从源节点和EAP捕获能量并同时放大转发信息到目的节点，该中继传输协议如图5所示.由于全双工传输特性使得系统产生自干扰信号，继而中继可从环路信道捕获能量.
Fig. 5 Relay transmission protocol without SWIPT
图5 不具有SWIPT的中继系统传输协议
第1阶段.在中继处接收到的数据信号为
(34)
第2阶段.在中继与目的节点处接收的能量与信息信号分别为
(35)
(36)
系统捕获到的总能量为
(37)
忽略时间延迟τ，则系统的吞吐量为
(38)
转换为等效优化目标函数，则传统全双工中继系统的最优化问题可以描述为：
问题P2:
(39)
0<PR≤ε.
(40)
同理，省略对原始问题P2的转换及求解过程.
本实验的目的在于评估和验证本文系统的性能增益.在不同实验数据设置下，模拟出不同实验对象的变化走向趋势图.模拟实验中，假设系统带宽为10 MHz，接收器的加性高斯白噪声功率谱密度为-140 dBmHz，各参数设置为
σ2=-50 dBm，η=0.5.使用瑞利衰落来模拟系统中源节点和目的节点之间的信道，并且在源节点和目的节点之间每间隔5 m信号衰减设置为40 dBm[18].信道由表达式描述为
其中，由远场均匀线性天线阵列模型hLoS=10-2(1,χjα,χ2jα,…,χ(M-1)jα)T表示视距(line of sight, LoS)信道，α=2πd sin (φ)l，且中继处的连续天线元件的间隔d=l2，其中l是载波波长，φ=60°是中继到目的节点的偏离角度，将瑞利衰落因子设置为5 dB.模拟瑞利衰落信道的非视距(not line of sight, NLoS)信道的每个元素服从均值为零、协方差为-40 dB的高斯分布随机变量[16].g与h信道模型相同.同时，环路信道f的模型可以通过环路路径损耗β表示为
其中β=-15 dB，f为N×1矩阵.一般设置PS=20 dBm.
为了探究在中继处的速率-能量平衡时最大化系统吞吐量的最佳功率分配比率ρ′，并验证所提出解决方法的优化性，实验模拟了吞吐量随功率分配比率ρ的变化趋势.基于不同能量阈值所对应的变化曲线，从各曲线变化值中可以分析得出最优功率分配比率.设置ε分别为-8 dBm，-6 dBm，-4 dBm，-2 dBm，0 dBm，能量接入点补充的总能量θ=13ε,ρ从-30 dB扫描到-1 dB.如图6所示，系统吞吐量随着功率分配比率的增加而缓慢下降，且下降幅度逐渐变小而后趋于平稳，这是由于随着ρ值越大，在功率分配中解码信息比捕获能量占比越大，致使能量-速率不平衡而使吞吐量波动幅度大，而取能量-速率平衡点的ρ值则更有意义.
Fig. 6 Throughput and power splitting rates at different energy thresholds
图6 在不同的能量阈值下的吞吐量与功率分配率
为了探究能使中继系统持续稳定运行的外部捕获能量值θ在系统中的平衡点，实验模拟了中继从源节点捕获的能量与系统吞吐量之间的关系变化.设定Q-η θ取值从-10 dBm到2 dBm，外部补充能量θ分别为-13 dBm，-11 dBm，-9 dBm，-7 dBm，如图7所示，横坐标值在-5 dBm时曲线明显开始变化，表明Q-η θ值的增加对提高系统吞吐量有着显著的意义，且当中继从源节点捕获的能量有限时，系统提高从EAP捕获的能量值θ，则能更有效地提高系统运行速率，该数值结果从侧面反映了能量阈值在一定取值范围内与系统吞吐量成正比.
Fig. 7 Effect of the energy harvested by relay from source
图7 中继从源节点捕获的能量对系统的影响
Fig. 8 Effect of ε changes on the throughput of AF and DF relay systems
图8 ε变化对AF与DF中继系统吞吐量的影响
图8显示了在给定能量接入点个数下，随能量目标阈值ε变化中所提出系统分别在采用AF与DF协议下的系统性能情况.设置每个EAP补充的能量θi=18ε，EAP的数量分别为k=2，k=3，k=4，能量目标阈值从-10 dBm扫描到2 dBm.如图8所示，系统吞吐量随ε增加而呈现上升趋势，且DF优于AF中继系统，但在ε值一定时，曲线函数值因为k值不同有一点波动但并未有太大的差距，由此可知，在能量效益方面，系统总的捕获能量值对系统性能起主要影响作用，而不在于局部捕获能量值的大小，这也侧面验证了图7中的模拟实验结果.
最后，为了对比所提出系统与HD-SWIPT和FD-no-SWIPT中继系统在相同环境下的系统性能，实验模拟了在不同ε值下3个中继系统随源节点发射功率增长的变化趋势.设置ε分别为-5 dBm，0 dBm，源发射功率PS值从0 dBm扫描到30 dBm，从图9中可知，源节点发射功率与系统吞吐量成正比发展趋势.当源节点的发射功率增加到20 dBm时目标值呈现平缓稳定的增长趋势，显然由于自能量回收带来的效益使得所提出的FD中继系统对比于HD中继系统在促进系统性能方面更有意义；其次，对比于不同的全双工中继而采用SWIPT的系统对提高系统性能具有显著的有效性.
Fig. 9 Effect of source node transmission power variation on system performance
图9 源节点发射功率变化对系统性能的影响
本文提出了一个采用SWIPT技术的全双工中继系统.该系统将空闲的可存储电能的无线设备作为额外的能量补充源，能量受限的中继主要从源节点和多个相似的外部能量接入点(EAP)捕获能量，且系统的信息传输、能量捕获和协作传输在一个时间块中同步进行.本文系统以最大化系统吞吐量作为优化目标，采用功率分配方案进行信息解码和能量捕获，且中继通过环路信道进行自能量回收来消除自干扰信号.系统联合优化了中继发射功率、发射波束成形和功率分配比率，采用变量消减方法简化问题中的复杂多变量，运用半定规划、秩松弛和拉格朗日等方法求解优化目标问题.
仿真实验结果表明：1)在中继从源节点捕获的能量有限时，可以通过增加EAP的数量来提高系统所获得的能量，以此来提高系统的稳定性和高效运行；2)在解码转发(DF)协议下，所提出的具有自能量回收的SWIPT全双工中继系统性能优于在放大转发(AF)协议下的系统性能；3)与HD-SWIPT和FD-No-SWIPT中继系统相比，本文提出的基于SWIPT技术和非分时传输协议的全双工中继系统在提高系统性能方面具有更显著的增益.
[1] Lu Xiao, Wang Ping, Niyato D, et al. Wireless networks with RF energy harvesting: A contemporary survey[J]. IEEE Communications Surveys & Tutorials, 2015, 17(2): 757-789
[2] Zeng Yong, Zhang Rui. Optimized training design for wireless energy transfer[J]. IEEE Transactions on Communications, 2015, 63(2): 536-550
[3] Lu Xiao, Wang Ping, Niyato D, et al. Wireless charging technologies: Fundamentals, standards, and network applications[J]. IEEE Communications Surveys & Tutorials, 2016, 18(2): 1413-1452
[4] Zhang Rui, Ho C K. MIMO broadcasting for simultaneous wireless information and power transfer[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2013, 12(5): 1989-2001
[5] Krikidis I, Timotheou S, Nikolaou S, et al. Simultaneous wireless information and power transfer in modern communication systems[J]. IEEE Communications Magazine, 2014, 52(11): 104-110
[6] Nasir A A, Zhou Xiangyun, Durrani S, et al. Relaying protocols for wireless energy harvesting and information processing[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2013, 12(7): 3622-3636
[7] Huang Sai, Yao Yuanyuan, Feng Zhiyong. Simultaneous wireless information and power transfer for relay assisted energy harvesting network[J]. Wireless Networks, 2018, 24(2): 453-462
[8] Kim J, Lee H, Song C, et al. Sum throughput maximization for multi-user MIMO cognitive wireless powered communication networks[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2017, 16(2): 913-923
[9] Mohammadi M, Chalise B, Suraweera H, et al. Throughput analysis and optimization of wireless-powered multiple antenna full-duplex relay systems[J]. IEEE Transactions on Communications, 2016, 64(4): 1769-1785
[10] Kim H, Kang Jinyu, Jeong S, et al. Secure beamforming and self-energy recycling with full-duplex wireless-powered relay[C] //Proc of IEEE Annual Consumer Communications & Networking Conf. Piscataway, NJ: IEEE, 2016: 662-667
[11] Chae J, Lee H, Kim J, et al. Self-energy recycling techniques for MIMO wireless communication systems[C] //Proc of IEEE Int Conf on Communications (ICC). Piscataway, NJ: IEEE, 2017: 21-25
[12] Hwang D, Hwang K C, Kim D I, et al. Self-energy recycling for RF powered multi-antenna relay channels[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2017, 16(2): 812-824
[13] Shi Qingjiang, Liu Liang, Xu Weiqiang, et al. Joint transmit beamforming and receive power splitting for MISO SWIPT systems[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2014, 13(6): 3269-3280
[14] Shi Qingjiang, Xu Weiqiang, Chang T, et al. Joint beamforming and power splitting for MISO interference channel with SWIPT: An SOCP relaxation and decentralized algorithm[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(23): 6194-6208
[15] Zeng Yong, Zhang Rui. Full-duplex wireless-powered relay with self-energy recycling[J]. IEEE Wireless Communications Letters, 2015, 4(2): 201-204
[16] Hu Zhongwei, Yuan Chaowei, Zhu Fengchao, et al. Weighted sum transmit power minimization for full-duplex system with SWIPT and self-energy recycling[J]. IEEE Access, 2016, 4(10): 4874-4881
[17] Wang Zhenling, Yue Xinwei, Peng Zhangyou, et al. Full-duplex user relaying for NOMA system with self-energy recycling[J]. IEEE Access, 2018, 6(10): 67057-67069
[18] Hwang D, Nam S S, Yang J. Multi-antenna beamforming techniques in full-duplex and self-energy recycling systems: Opportunities and challenges[J]. IEEE Communications Magazine, 2017, 55(10): 160-167
[19] Dong Yanjie, Shafie A E, Hossain M J, et al. Secure beamforming in full-duplex SWIPT systems with loopback self-interference cancellation[C] //Proc of IEEE Int Conf on Communications (ICC). Piscataway, NJ: IEEE, 2018: 20-14
[20] Liu Ju. Space -Time and Cooperative Signal Processing in Wireless Communication[M]. Beijing: Posts and Telecommunications Press, 2013: 126-130 (in Chinese)
(刘琚. 无线通信中的空时与协作信号处理[M]. 北京: 人民邮电出版社, 2013: 126-130)
[21] Sun Wenyu. Fundamentals of Operations Research[M]. Beijing: Science Press, 2013: 87-91 (in Chinese)(孙文瑜. 运筹学基础[M]. 北京: 科学出版社, 2013: 87-91)
Zhou Yening, born in 1994. Master candidate. Her main research interests include simultaneous wireless information and power transmission, wireless energy harvest.
Li Taoshen, born in 1957. PhD, professor. His main research interests include wireless network, distributed database, cloud computing and big data, and network security.
Wang Zhe, born in 1991. PhD. His main research interests include energy harvest network, electric power equipment and intelligent information technology, sensor networks.
Xiao Nan, born in 1992. Master candidate. His main research interests include simultaneous wireless information and power transmission, wireless energy harvest.
附录A. 优化问题的求解.
定义λ1≥0，λ2≥0，λ3≥0，Φ≥0分别为每个约束对应的拉格朗日乘数变量，则对应于问题P0-SDR的拉格朗日函数是：
-λ2(-tr(VR)+ε)-λ3(ρR-σ2)-tr(ΦVR).
(A1)
用
分别表示问题P0-SDR的最优对偶解，根据约束优化的K.K.T条件，可以列出等式：
根据式(A5)，如果
则有
这与式(18)矛盾，所以
根据式(A2)(A3)可以推导出：
其中
从式(A8)可知，如果
则有
与式(18)矛盾，所以
考虑式(A4)的互补松弛，可以获得
即，问题P0-SDR的式(16)在最优点满足式(A9).根据式(A7)得：
因为
且G=ggH，F=ffH，可以知道
因此rank(Φ′)≥N-1.由式(A6)的互补松弛，推断出
因为
与式(17)矛盾，可知