含参模糊决策蕴涵

王 琪1 李德玉1,2 翟岩慧1,2 张少霞1

1(山西大学计算机与信息技术学院 太原 030006)

2(计算智能与中文信息处理教育部重点实验室(山西大学) 太原 030006)

(chai_yanhui@163.com)

摘 要 智能决策是人工智能的重要组成部分.在形式概念分析中,决策表现为决策背景上的决策蕴涵,模糊决策蕴涵则是建立在模糊决策背景上的决策蕴涵,其前件和后件分别为条件属性和决策属性.因为模糊决策蕴涵可以避免条件属性之间和决策属性之间生成模糊属性蕴涵,因而具有更广泛的应用意义.确定化、无调节的知识获取方式对实际应用的适应性差.因此,需要将不可调节的知识发现方式拓展到参数化可调节的知识发现方式.语气真值算子和阈值作为2种参数化策略在具有模糊属性的形式概念分析中发挥着重要的作用.现有的模糊决策蕴涵模型仅考虑到语气真值算子的可变,可调节性较差,考虑阈值参数化策略的研究较少.以完备剩余格为参考框架,将语气真值算子和阈值2种参数化策略引入模糊决策蕴涵,提出含参模糊决策蕴涵,研究其语义特征,证明一些基本性质,并提出3条推理规则,证明其合理性和完备性.在实际生活中,用户可以选择合适的阈值来获取需要的知识,并且可以使用推理规则来进行知识推理,提升模糊决策蕴涵的可调节性和应用价值.

关键词 形式概念分析;含参模糊决策蕴涵;参数化;模糊逻辑;模糊决策蕴涵

在哲学视角下,概念由外延和内涵2个部分组成,外延被定义为属于这个概念的所有对象的集合,而内涵则是所有这些对象所共有的特征(属性)集合.1982年,Wille等人[1]基于此提出了形式概念分析(formal concept analysis, FCA)理论.该理论根据概念之间的包含关系构成的概念格来反映数据的代数结构.近年来,FCA以其具有坚实的数学理论支撑、获取的知识层次清晰且逻辑性强等优点,逐渐吸引了广大研究者的兴趣[2-15].目前,FCA已经广泛应用于机器学习[2]、软件工程[3]、社会网络分析[4]、概念认知学习[5-6]、知识获取[7]和知识约简[8]等领域.

产生式规则是知识的主要表现形式,FCA对知识获取的研究就是对蕴涵的研究.由于获得的蕴涵数量庞大,无法满足用户的需求,因此如何获得完备的无冗余的蕴涵成为研究热点.Ganter等人[1]研究了蕴涵的语义特征和语构特征,并且给出一种在所有蕴涵基中蕴涵个数最少的蕴涵基,称为自然基.文献[16]进一步从逻辑角度出发,提出了一种用于判别蕴涵集是否为完备集的充要条件,并且给出一种生成蕴涵完备集的算法.

为了进一步减少蕴涵的数目,Qu等人通过限制蕴涵的前件和后件分别为条件属性和决策属性提出了决策蕴涵的概念[17],并完整讨论了决策蕴涵的逻辑特征[18].基于决策蕴涵的逻辑研究,文献[19]提出了决策前提的概念,并据此生成一种完备无冗余且最优的知识基:决策蕴涵规范基.文献[20]对决策蕴涵与粒规则[21]和概念规则[22]进行了比较研究,发现与决策蕴涵相比,粒规则和概念规则存在信息损失.另外,文献[23]也从逻辑角度研究了具有支持度和可信度的决策蕴涵.文献[24]将决策蕴涵拓展到模糊形式背景上,提出了模糊决策蕴涵的概念,并讨论其语义特征和语构特征.文献[25]提出模糊决策蕴涵规范基的概念,并证明模糊决策蕴涵规范基的完全性、无冗余性和最优性.

模糊决策蕴涵可以基于语气真值算子(hedge)进行简化知识[24-25],但并没有考虑阈值这一参数化策略.在现实生活中,阈值在简化知识方面具有重要的作用.例如,在知识“如果1个女性年轻的程度超过0.8,那么该用户喜欢爱情喜剧类电影的程度将会超过0.5”中,0.8和0.5均为阈值,但模糊决策蕴涵理论并不适用挖掘此类具有阈值的知识.事实上,模糊决策蕴涵理论只能挖掘诸如“年轻女性喜欢爱情喜剧类电影”不带有阈值的知识,其中年轻和爱情喜剧类均为模糊集.可以发现,模糊决策蕴涵仅仅是阈值为1时的特例,因此,研究含有阈值的模糊决策蕴涵不仅具有应用意义,而且具有理论意义,即含有阈值的模糊决策蕴涵是模糊决策蕴涵的扩展理论.

本文对模糊决策蕴涵进行拓展,定义了含参模糊决策蕴涵,并研究了其语义特征和语构特征.

1 模糊逻辑

本节简要介绍相关的基础背景知识.

定义1[26]. 在Pavelka逻辑中,真值结构是形如(L,∧,∨,⊗,→,0,1)的完备剩余格,满足3个性质:

1) (L,∧,∨,0,1)是以0和1为最小元和最大元的完备格;

2) (L,⊗,1)为交换幺半群,即⊗满足交换律和结合律,且有∀aL,a⊗1=1⊗a=a

3) ⊗,→为伴随对,满足伴随条件abc当且仅当abc,其中a,b,cL.

运算⊗,→分别表示模糊合取和模糊蕴含,L中的元素称为真实度.

常见的完备剩余格的例子是单位区间[0,1],∧和∨运算分别是最小值和最大值.3个单位区间上重要的伴随对如下.

ukasiewicz:

ab=max(a+b-1,0),
ab=min(1-a+b,1).

Godel:

ab=min(a,b),

Goguen:

ab=a·b

语气真值算子(hedge)可以增加推理的灵活性.

定义2[24]. 模糊集L上的语气真值算子定义为映射*:LL,满足:

1) 1*=1, a*a

2) (ab)*a*b*

3) a**=a*

其中,a,bL.

最大的语气真值算子为Identity,即对任意的aL,都有a*=a.

最小的语气真值算子为Globalization,即

性质1[24]. 完备剩余格主要具有10条性质.对于a,b,c,yiL

1) abab=1;

2) abcbac

3) (ab)→c=(a→(bc));

4) a→∧yi=∧(ayi);

5) 1→a=a

6) a⊗(ab)≤b

7) a≤(b→(ab));

8) a*b*=(ab)*

9) a≤(b→(ab))*

10) a⊗∨yi=∨(ayi).

定义3[24]. 模糊集A是定义在论域X上的一个映射,它赋予每个xX一个隶属度A(x)∈L.论域X上的所有模糊集记为LX.

定义4[24]. L-模糊集之间的包含关系定义为

性质2[24]. 模糊集之间的包含关系主要有4个性质:

1) aS(A,B)=S(aA,B)=S(A,aB);

2) S(AB,C)=S(A,C)∧S(B,C);

3) S(A,BC)=S(A,B)∧S(A,C);

4) S(A,B)⊗S(B,C)≤S(A,C).

2 含参模糊决策蕴涵的语义、语构及其性质

类似于模糊决策蕴涵[24],含参模糊决策蕴涵的研究内容包括语义和语构2个方面.

1) 语义方面的研究包括:①含参模糊决策蕴涵的合理性,即含参模糊决策蕴涵是否合法;②含参模糊决策蕴涵的无冗余性,即含参模糊决策蕴涵能否被其他含参模糊决策蕴涵导出;③含参模糊决策蕴涵的完备性,即含参模糊决策蕴涵是否包含完整的信息.

2) 语构方面的研究包括:①推理规则的合理性,即含参模糊决策蕴涵能否使用推理规则得出;②推理规则的完备性,即是否能用这些推理规则推出所有可能的含参模糊决策蕴涵.

2.1 含参模糊决策蕴涵的语义特征

本文使用Bělohlávek等人[14]提出的同时考虑阈值和语气真值算子的概念构成算子,并将其引入到模糊决策蕴涵中.

定义5. CD上的含参模糊决策蕴涵为公式AB,其中ALCBLD分别是条件属性和决策属性的模糊集.设模糊属性集TLCDTC={t/lT|tTC},TD={t/lT|tTD},则其对含参模糊决策蕴涵AB的满足程度定义为

AB=(δ1S(A,TC))*→(δ2
S(B,TD))=S(δ1A,TC)*S(δ2B,TD),

其中,δ=(δ1,δ2)∈L×Lδ1δ2是2个阈值参数.

在定义5中,S(A,TC)表示TC包含A的程度,δ1S(A,TC)表示TC包含A的程度至少是δ1的程度,因此‖AB表示命题“若TC含有A的程度至少为δ1是非常正确的,则TD含有B的程度至少为δ2”的真实度.因此,δ1δ2作为阈值影响了ABT上的真实度.当语气真值算子取Identity时,含参模糊决策蕴涵为S(δ1A,TC)→S(δ2B,TD),特别当‖AB=1时,S(δ1A,TC)≤S(δ2B,TD),换句话说,“TD含有B的程度至少为δ2”的程度大于等于“TC含有A的程度至少为δ1”的程度.另当语气真值算子取Globalization,‖AB=1时,有当S(δ1A,TC)=1时,S(δ2B,TD)=1,即当TC含有A的程度至少为δ1时,TD含有B的程度至少为δ2.选择不同的语气真值算子,可以得到含参模糊决策蕴涵的不同解读.

另外,当δ1=δ2=1时,‖AB等价于不含参数的模糊决策蕴涵[24].δ1=δ2=0时,‖AB表示下列命题的真实度:若TC含有A的程度至少为0是非常正确的,则TD含有B的程度至少为0.由模糊集的包含度的定义可知,包含度始终大于等于0,因此当δ1=δ2=0时,对于任意的T=1.

例1. L={0,0.25,0.5,0.75,1},C={s,l},D={f,n},δ1=δ2=0.5,使用ukasiewicz伴随对和Identity语气真值算子,令

AB={0.5/s,0.5/l}⟹{0.5/f,0.5/n},
T={0.75/s,0/l,0.25/f,0.5/n},
TC={0.75/s,0/l},
TD={0.25/f,0.5/n},

AB=(0.5→((0.5→0.75)∧
(0.5→0)))*→(0.5→((0.5→0.25)∧
(0.5→0.5))=1.

这表明数据T满足含参模糊决策蕴涵“若对象含有属性sl的程度均超过0.5,则其含有属性fn的程度也均超过0.5”的程度为1.

定理1. 设模糊属性集TLC×LD,含参模糊决策蕴涵为ABALCBLD,则有

证明. 由定义5及伴随对的性质容易证明该结论成立.

证毕.

定理1的第1个等式表明,在阈值δ=(δ1,δ2)下,数据T满足含参模糊决策蕴涵的程度与(δ1TC)∪(δ2TD)满足模糊决策蕴涵的程度相同.定理1的第2个等式表明,数据T满足含参模糊决策蕴涵的程度等于数据T满足前件为δ1A、后件为B的模糊决策蕴涵的程度超过δ2的程度.

可以发现,当δ2=0时,这说明当阈值δ2=0时,模型T满足任意含参模糊决策蕴涵.其他情况时,模型T满足含参模糊决策蕴涵的程度与δ2呈现反单调性、与δ1呈现单调性.

定理2. 设模糊属性集TLCD,则对含参模糊决策蕴涵ABALCBLD

AB=∨{cL|‖AcB=1}.

证明. 由定理1以及文献[22]中定理1的证明可证.

证毕.

定义6. T={T1,T2,…,Tn}⊆LCD满足含参模糊决策蕴涵ABALCBLD的程度定义为

AB=∧{‖AB|TiT}.

定义6表明,含参模糊决策蕴涵在数据集T中成立的程度是其在所有数据中TiT成立程度的最小值.

定义7. L为含参模糊决策蕴涵集,L的所有模型定义为

Modδ(L)={TLC×LD|L(AB)≤
AB},

其中,L(AB)是AB属于L的程度.含参模糊决策蕴涵从L中语义导出的程度定义为

AB=‖AB

ABL导出的程度等于L的全部模型满足AB的程度.

例2. 令含参模糊决策蕴涵集L

L={({0.5/s,0.25/l}⟹{0.25/f,0.5/n})/0.75,
({0/s,0.5/l}⟹{0.5/f,0/n})/0.75},

δ1=δ2=0.5.对于T={0.5/s,0/l,0/f,0.5/n},使用ukasiewicz伴随对和Identity语气真值算子计算可得

‖{0.5/s,0.25/l}⟹{0.25/f,0.5/n}=1≥0.75,
‖{0/s,0.5/l}⟹{0.5/f,0/n}=1≥0.75.

可以发现,T满足L中含参模糊决策蕴涵的程度均为1,从而TL的模型.

定理3. 对于含参模糊决策蕴涵集L和含参模糊决策蕴涵ABALCBLD

1) Modδ(L)={T|(δ1TC)∪(δ2TD)∈Mod1(L)};

2)

证明. 类似于文献[22]可证.

证毕.

定理3的1)和2)相当于定理1的第1个等式的推论,定理3的3)是2)的推论.值得注意的是,由定理3的2)并不能得出含参模糊决策蕴涵的语义导出程度关于参数δ是递减的,只能得出该语义导出程度的2个极值.参数的引入,使得语义导出程度的变化更加复杂,不再是单纯的单调.

定义8. 含参模糊决策蕴涵集L是封闭的,若对任意的AB,‖AB=L(AB).L是封闭的,DL,若对任意的AB有‖AB=‖AB,则称D相对于L是完备的.D的任意真子集是不完备的,则称D是无冗余的.

给定一个条件属性模糊集以及参数δ1δ2,该条件属性模糊集可以从给定的含参模糊决策蕴涵集中得出的所有结论,即该条件属性模糊集的闭包.

定义9. 对于含参模糊决策蕴涵集LALC,定义A相对于L的闭包为

=∪{L(A1B1)⊗S(δ1A1,A)*B1|
A1LC,B1LD}.

例3. A={0.5/s,0/l},δ1=δ2=0.5,使用ukasiewicz伴随对和Identity语气真值算子.令

L={(A1B1)/0.75,(A2B2)/0.75}=
{({0.5/s,0.25/l}⟹{0.25/f,0.5/n})/0.75,
({0/s,0.5/l}⟹{0.5/f,0/n})/0.75},

L(A1B1)⊗S(δ1A1,A)*B1=
0.75⊗1⊗B1={0/f,0.25/n},
L(A2B2)⊗S(δ1A2,A)*B2={0/f,0/n}.

对于不在模糊决策蕴涵集中的模糊决策蕴涵,有

L(A1B1)⊗S(δ1A1,A)*B1=
0⊗S(δ1A1,A)*B1={0/f,0/n},

因此={0/f,0.25/n}.

定理4. 对于含参模糊决策蕴涵集LALC,有A∪(δ2)∈Modδ(L).

证明. 对于任意的A1B1L,记

c=L(A1B1)⊗S(δ1A1,A)*

显然有

(cB1(u)⊗δ2)→(cB1(u)⊗δ2)=1.

由性质1的结论3)和4)有

(cB1δ2)→(cB1δ2)=
cS(δ2B1,δ2cB1)=1,

从而cS(δ2B1,δ2cB1),即

L(A1B1)⊗S(δ1A1,A)*
S(δ2B1,δ2L(A1B1)⊗
S(δ1A1,A)*B1).

又因为

δ2δ2L(A1B1)⊗
S(δ1A1,A)*B1

从而可得

L(A1B1)⊗S(δ1A1,A)*
S(δ2B1,δ2),

L(A1B1)≤S(δ1A1,A)*
S(δ2B1,δ2),

因此A∪(δ2)∈Modδ(L).

证毕.

例4. (续例3)令A={0.5/s,0/l},由例3可得

T0=A∪(δ2)={0.5/s,0/l,0/f,0/n},

对于L中的含参模糊决策蕴涵有


‖{0/s,0.5/l}⟹{0.5/f,0/n}=1≥0.75,

因此有T0Modδ(L).

证毕.

定理5. 对于含参模糊决策蕴涵集L和条件属性模糊集ALC,有‖A=1.

证明. 对于任意的TModδ(L)和A1B1

L(A1B1)≤‖A1B1=
S(δ1A1,TC)*S(δ2B1,TD),

由伴随对的性质有

L(A1B1)⊗S(δ1A1,TC)*
S(δ2B1,TD)⟺L(A1B1)⊗
S(δ1A1,TC)*
S(δ2B1,TD)=1.

由性质1的结论8)和性质2的结论4)有

S(δ1A1,δ1A)*
S(δ1A,TC)*S(δ1A1,TC)*

两边同乘L(A1B1)可得

L(A1B1)⊗S(δ1A1,δ1A)*S(δ1
A,TC)*L(A1B1)⊗S(δ1A1,TD)*

由→的性质有

L(A1B1)⊗S(δ1A1,δ1A)*
S(δ1A,TC)*S(δ2B1,TD)≥
L(A1B1)⊗S(δ1A1,TC)*
S(δ2B1,TD)=1,

从而

L(A1B1)⊗S(δ1A1,δ1A)*
S(δ1A,TC)*S(δ2B1,TD),

由性质1的结论3)有

S(δ1A,TC)*L(A1B1)⊗
S(δ1A1,δ1A)*
S(B1,δ2TD)=
S(δ2L(A1B1)⊗
S(δ1A1,δ1A)*B1,TD),

由性质2的2)和性质1的4),上式等价于


S(δ1A1,δ1A)*B1,TD),

由定义9可得


S(δ1A1,δ1A)*B1,TD)=
S(δ2⊗(δ1A,TD),

从而

S(δ1A,TC)*
S(δ2,TD)=1,

A=1.

证毕.

定理5表明,在含参模糊决策蕴涵集中,A是恒成立的规则,这条规则不涉及δ2的取值.

定理6. 对于含参模糊决策蕴涵集L,可得

证明. 由定理4容易得

Modδ(L)⊇{A∪(δ2)|ALC},

对于和任意的A1B1,有

进而

从而L的模型,即

反过来,设TModδ(L),有

L(A1B1)≤S(δ1A1,TC)*
S(δ2B1,TD)⟺L(A1B1)⊗
S(δ1A1,TC)*S(δ2B1,TD)⟺
L(A1B1)⊗S(δ1A1,TC)*
δ2B1(d)→TD(d),∀dD
L(A1B1)⊗S(δ1A1,TC)*
δ2B1(d)≤TD(d),∀dD
L(A1B1)⊗S(δ1A1,TC)*
δ2B1TD

从而δ2TD.

证毕.

定理6表明,A∪(δ2)是以A为条件部分的模型中的最小模型,因此,任何结论小于(δ2)的数据都不是含参模糊决策蕴涵集的模型.

例5. C={a},D={z},真值结构采用L={0,0.25,0.5,0.75,1},δ1=0.75,δ2=1,采用ukasiewicz算子和Identity语气真值算子.设含参模糊决策蕴涵集为L={{1/a}⟹{1/z}/1}.计算闭包及其模型如表1所示:

Table 1 Closure and Models
表1 闭包及其模型

Aδ2 ALδ{0∕a}{0.25∕z}{0.25∕a}{0.75∕z}{0.5∕a}{0.75∕z}{0.75∕a}{0.75∕z}{1∕a}{1∕z}

因此有

Modδ(L)={{0/a,0.25/z},{0/a,0.5/z},
{0/a,0.75/z},{0/a,1.0/z},{0.25/a,0.75/z},
{0.25/a,1/z},{0.5/a,0.75/z},{0.5/a,1/z},
{0.75/a,0.75/z},{0.75/a,1/z},{1/a,1/z}}.

T={0.5/a,0/z},计算有‖AB=0.2<1,所以T不是该决策蕴涵集的模型.

定理7. 对于含参模糊决策蕴涵集L和含参模糊决策蕴涵AB,有

AB=S(δ2B,δ2).

证明. 由定理4可知(δ1A)∪(δ2⊗(δ1A)是L的模型.由定义9可知

AB=∧TModδ(L)AB

S(δ2B,δ2⊗(δ1A).

另一方面,设TModδ(L),由定理5有

A=1,

S(δ1A,TC)*S(δ2,TD)=1,

因此

S(δ1A,TC)*S(δ2,TD),

从而由性质2的结论4)可知

S(δ2B,δ2⊗(δ1A)⊗
S(δ2⊗(δ1A),TD)≤S(δ2B,TD),

因此

S(δ2B,δ2⊗(δ1A)⊗
S(δ1A,TC)*S(δ2B,TD),

等价于

S(δ2B,δ2⊗(δ1A)≤
S(δ1A,TC)*S(δ2B,TD),

S(δ2B,δ2)≤‖AB.T的任意性有

S(δ2B,δ2⊗(δ1A)≤
TModδ(L)AB=‖AB.

证毕.

定理7同时也给出了含参模糊决策蕴涵从含参模糊决策蕴涵集中导出程度的计算方法.

2.2 含参模糊决策蕴涵的语构特征

依据Pavelka逻辑[26],给定含参模糊决策蕴涵构成的模糊集L,其中L(AB)为含参模糊决策蕴涵AB的隶属度,可以使用推理规则集进行推理.中的推理规则具有的形式为

其中φ1,φ2,…,φn,φn+1条含参模糊决策蕴涵,a1,a2,…,an,aLai可以为L(φi),即φi的隶属度,也可以为使用推理规则从含参模糊决策蕴涵集推导的φi的程度.

推理规则的含义为:若含参模糊决策蕴涵φi具有隶属度或者导出程度aii∈{1,2,…,n},则可推导出程度为a的含参模糊决策蕴涵φ.

针对含参模糊决策蕴涵,本文提出3条推理规则.

1) 含参模糊变换推理规则:

.

2) 含参模糊扩增推理规则:

3) 含参模糊转换推理规则:

定义10[24]. 模糊推理规则

是合理的,若

Mod({a11,a22,…,ann})=
Mod({a11,a22,…,ann,a/φ}).

定理8. 上述3条规则是合理的.

证明. 含参模糊变换推理规则:设TAB,a的模型,即‖ABa,要证明T也是A1B1,aS(δ1A,δ1A1)*S(δ2B1,δ2B)的模型,即证

aS(δ1A,δ1A1)*S(δ2B1,δ2B)≤
A1B1=S(δ1A1,TC)*
S(δ2B1,TD),

这等价于证明

aS(δ1A,δ1A1)*S(δ2B1,δ2B)⊗
S(δ1A1,TC)*S(δ2B1,TD),

因为‖ABa,只需证明

ABS(δ1A,δ1A1)*S(δ2B1,
δ2B)⊗S(δ1A1,TC)*S(δ2B1,TD),

由性质2的结论4)可得

S(δ2B1,δ2B)⊗S(δ2B,TD)≤
S(δ2B1,TD),

(1)

另外,由性质1的结论6)有

(S(δ1A,TC)*S(δ2B,TD))⊗
S(δ1A,TC)*S(δ2B,TD),

(2)

联立式(1)和式(2)可得

(S(δ1A,TC)*S(δ2B,TD))⊗
S(δ1A,TC)*S(δ2B1,δ2B)≤
S(δ2B,TD)⊗S(δ2B1,δ2B)≤
S(δ2B1,TD),

上式可变形为

ABS(δ1A,TC)*
S(δ2B1,δ2B)≤S(δ2B1,TD),

另外,由性质1的结论6)又有

S(δ1A,δ1A1)*S(δ1A1,TC)*
S(δ1A,TC)*

因此可得

ABS(δ1A,δ1A1)*
S(δ1A1,TC)*S(δ2B1,δ2B)≤
S(δ2B1,TD),

即有

ABS(δ1A,δ1A1)*S(δ2B1,
δ2B)≤S(δ1A1,TC)*S(δ2B1,TD),

这说明T也是A1B1,aS(δ1A,δ1A1)*S(δ2B1,δ2B)的模型.

证毕.

含参模糊扩增推理规则和含参模糊变换推理规则的合理性证明类似.

对于模糊决策蕴涵集L,重复运用这3条规则,直到所有含参模糊决策蕴涵的隶属度到达不动点,记为

定义11. 模糊推理规则集相对于语义特征是完备的,若对于任意含参模糊决策蕴涵集L和任意的AB,有

定理9. 上述3条模糊推理规则相对于含参模糊决策蕴涵的语义特征是完备的.

证明.AB为含参模糊决策蕴涵,要证明只需找到模型T证明AB即可,改写含参模糊变换推理规则为

其中bi=L(AiBi).由含参模糊转换推理规则有

再由含参模糊扩增推理规则合并得到的所有含参模糊决策蕴涵可得

由定义9得到A.再次应用含参模糊变换推理规则可得

因此可以以至少S(δ2B,δ2)的程度生成AB,因此有

由定理3可知T=(δ1A)∪(δ2⊗(δ1A)是L的模型,因此有

证毕.

可以发现当δ2=0时,任意含参模糊决策蕴涵AB从含参模糊决策集L中导出的程度为S(δ2B,δ2⊗(δ1A)=1,这与定理3的2)的结论是一致的.同时,在证明过程中得出的A,1规则与定理5表达的意思是一致的.最后,表明,使用模糊推理规则集导出的程度大于定理7中语义导出的程度,证明了模糊推理规则集的完备性.

3 结 论

本文在模糊决策蕴涵中引入了阈值,提出了含参模糊决策蕴涵,提升了模糊决策蕴涵的可调节性和应用价值.在语义方面,研究了含参模糊决策蕴涵的模型和语义导出程度的计算方法;在语构方面,将模糊决策蕴涵中的3条推理规则拓展到含参模糊决策蕴涵,并证明了这些推理规则的合理性和完备性.

从理论上看,将阈值引入模糊决策蕴涵的意义并不局限于构建一种以模糊决策蕴涵为特例的理论框架.一方面,这种引入方式具有普遍意义,事实上,定义4和性质1的1)正是模糊集包含度和含参的模糊集包含度的定义.因此,这个引入方式对整个粒计算领域均有参考意义.另一方面,由定义5可以看出,将阈值引入模糊决策蕴涵本质上相当于在完备剩余格上建立一种协调结构,而定理1正是说明这种协调结构所具有的特性,因此,本文的结论对完备剩余的公理化或代数研究也具有一定的启发意义.进一步来说,含参模糊决策蕴涵同时包含阈值和语气真值算子2种知识简化策略,但本文并没有考虑这种简化策略之间的联系和相互作用.事实上,如果说参数的引入是在完备剩余格上建立一种协调结构,那么语气真值算子就是完备剩余格上的另一种协调结构,因此,从代数角度和应用角度研究这2种结构之间的关系将是下一步的研究工作.

值得指出的是,在应用中,用户可能需要根据不同的实际需求选择合适的阈值.由定理1可知,给定模糊决策背景,参数δ1越小或参数δ2越大,满足含参模糊决策蕴涵的模型也越少,因此模糊决策背景中成立的含参模糊决策蕴涵也越少.δ1δ2分别为0和1时,用户可以得到最严格意义上的模糊决策蕴涵;用户可以进一步增加δ1或减小δ2来获取更多的模糊决策蕴涵.在具体应用中,用户可以参考专家的意见来选定阈值,或选取一些指标(如分类性能等)来有监督地选择合适的阈值.

作者贡献声明:王琪负责设计研究方案、方法实现与论证、论文初稿撰写;李德玉提出研究思路,优化研究方案;翟岩慧参与研究方案优化以及方法检验与论证;张少霞参与方法检验与论证以及论文审阅与修订.

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Parameterized Fuzzy Decision Implication

Wang Qi1, Li Deyu1,2, Zhai Yanhui1,2, and Zhang Shaoxia1

1(School of Computer and Information Technology, Shanxi University, Taiyuan 030006)

2(Key Laboratory of Computational Intelligence and Chinese Information Processing(Shanxi University), Ministry of Education, Taiyuan 030006)

Abstract Intelligent decision making is an important part of artificial intelligence. In formal concept analysis, decision is represented by decision implication in decision context, while fuzzy decision implication is based on fuzzy decision context, whose premise and conclusion are condition attributes and decision attributes respectively. Fuzzy decision implication exhibits a wider application significance, because it can avoid the fuzzy attribute implications that occur between condition attributes and between decision attributes. Deterministic, unadjustable knowledge acquisition is poorly adaptive to practical applications. Therefore, we need to expand unadjustable knowledge discovery methods to parameterized adjustable knowledge discovery methods. As two kinds of parameterized strategies, hedges and thresholds play an important role in the research of formal concept analysis with fuzzy attributes. Existing fuzzy decision implication models only take into account the hedge operator, which is poor in tunability, and the parameterized strategy that considers the threshold is less studied. Thus, in our paper, complete residual lattice is used as the reference frame, and the two parameterized strategies of hedge and threshold are introduced into fuzzy decision implication. We study the semantic aspect and prove some basic properties. Then we put forward three inference rules for parameterized fuzzy decision implication based knowledge reasoning and show their rationality and completeness. According to the results obtained, in real life, users may choose appropriate hedge and threshold to acquire knowledge, thus enhancing the tunability and application value of fuzzy decision implication.

Key words formal concept analysis; parameterized fuzzy decision implication; parameterize; fuzzy logic; fuzzy decision implication

中图法分类号 TP18

DOI:10.7544/issn1000-1239.20210539

收稿日期2021-06-03;修回日期:2021-09-29

基金项目国家自然科学基金项目(62072294,61972238,61806116);山西省重点研发计划(国际科技合作)项目(201803D421024,201903D421041)

This work was supported by the National Natural Science Foundation of China (62072294, 61972238, 61806116) and the Key Research and Development Program of Shanxi Province (International Cooperation) (201803D421024, 201903D421041).

通信作者李德玉(lidysxu@163.com)

Wang Qi, born in 1997. Master. His main research interests include data mining and intelligent decision.

王 琪,1997年生.硕士.主要研究方向为数据挖掘与智能决策.

Li Deyu, born in 1965. PhD, professor, PhD supervisor. Senior member of CCF. His main research interests include rough set, multi-label learning.

李德玉,1965年生.博士,教授,博士生导师.CCF高级会员.主要研究方向为粗糙集、多标签学习.

Zhai Yanhui, born in 1981. PhD, associate professor, PhD supervisor. Member of CCF. His main research interests include concept lattice and rough set.

翟岩慧,1981年生.博士,副教授,博士生导师.CCF会员.主要研究方向为概念格和粗糙集.

Zhang Shaoxia, born in 1991. PhD. Her main research interest is concept lattice.

张少霞,1991年生.博士.主要研究方向为概念格.