高阶次Caputo型分数阶微分算子及其图像增强应用

王相海; 张文雅; 邢俊宇; 吕芳; 穆振华

doi:10.7544/issn1000-1239.202110942

高阶次Caputo型分数阶微分算子及其图像增强应用

王相海^{1, 2,},
张文雅²,
邢俊宇²,
吕芳²,
穆振华¹

1.
辽宁师范大学地理科学学院　辽宁大连　116029
2.
辽宁师范大学数学学院　辽宁大连　116029

基金项目: 国家自然科学基金项目(41971388)；辽宁省高等学校创新团队支持计划项目(LT2017013)

详细信息

作者简介:
王相海: 1965 年生. 博士，教授，博士生导师. CCF高级会员. 主要研究方向为计算机图形学、多媒体信息处理和遥感影像处理

张文雅: 1996年生. 博士研究生. 主要研究方向为偏微分方程图像处理和统计建模

邢俊宇: 1995年生. 硕士研究生. 主要研究方向为偏微分方程图像处理

吕芳: 1993年生. 硕士. 主要研究方向为分数阶偏微分方程图像处理

穆振华: 1995年生. 博士研究生. 主要研究方向为高光谱影像处理和图像统计建模

中图分类号: TP391
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出版历程
- 收稿日期: 2021-09-14
- 修回日期: 2022-04-18
- 网络出版日期: 2023-02-10
- 刊出日期: 2023-01-31

High-order Caputo Fractional Order Differential Operator and Its Application in Image Enhancement

1.
School of Geographical Science, Liaoning Normal University, Dalian, Liaoning 116029
2.
School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian, Liaoning 116029

Funds: This work was supported by the National Natural Science Foundation of China (41971388) and the Innovation Team Support Program of Liaoning Higher Education Department ( LT2017013).

摘要

摘要:
近年来基于分数阶微积分的信号和图像处理受到广泛关注. 目前常见的应用于图像处理的分数阶微分算子包括G-L（Grünwald-Letnikov）型、R-L（Riemann-Liouville）型和Caputo型3种.G-L和R-L算子尽管能对图像有着一定的增强效果，但其对图像对比度、清晰度的提升有限；而Caputo型微分掩模算子目前多限于（0,1）阶的低阶算子，其高阶次算子的研究和应用相对较少.对高阶次Caputo型分数阶微分算子及其图像增强应用进行研究，首先针对（1,2）阶、（2,3）阶次Caputo型分数阶微分构建一种基于向前差分的微分掩模算子，并对其误差进行了论证；其次进一步给出了更高阶次Caputo型分数阶微分算子的矩阵化表现形式；最后在此基础上将所提出的高阶次Caputo型分数阶微分掩模算子应用于图像增强.实验结果表明所提出的高阶次Caputo型分数阶微分算子取得了很好的图像增强效果，对提升图像的对比度、清晰度和平均梯度具有较为明显的优势.
- 分数阶微分 /
- Caputo型分数阶微分算子 /
- 前向差分 /
- 图像增强 /
- 掩模
Abstract:
Unlike the traditional integer calculus, which usually has intuitive geometric and physical meaning, the definition of fractional calculus is generally complex and presents different forms. However, its characteristics such as memory and nonlocality have laid a good mathematical foundation for solving some complex problems in the engineering field. At the same time, signal and image processing based on fractional calculus have also attracted attention in recent years. At present, the common fractional differential operators used in image processing include Grünwald-Letnikov (G-L) fractional differential, Riemann-Liouville (R-L) fractional differential and Caputo fractional differential. Although G-L and R-L operators can enhance the image to a certain extent, their capabilites of the improvement of image contrast and definition is limited. At present, Caputo differential mask operators are mostly limited to low-order operators of order in (0,1), and the research and application of high-order operators are relatively few. In this paper, the high-order Caputo fractional differential operator and its application in image enhancement are studied. Firstly, a differential mask operator based on forward difference is constructed for Caputo fractional differential with order in (1,2) and (2,3), and its error is demonstrated; Further, the general form of high-order Caputo fractional differential operator is studied, and a representation based on matrix is given. On this basis, the proposed high-order Caputo fractional differential mask operator is applied to image enhancement, and the comparative experiments of image enhancement are carried out for mask operators of different orders and sizes. The experimental results show that the proposed high-order Caputo fractional differential operator achieves good image enhancement effect, especially for improving image contrast, clarity and average gradient have obvious advantages.
- fractional differential /
- Caputo fractional differential operator /
- forward difference /
- image enhancement /
- mask

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国密SM4算法^[1]是一种常用的分组密码算法，广泛应用于数据保护、加密通信等领域. SM4算法常见工作模式有ECB（electronic codebook），CBC（cipher block chaining）等，对于相同的明文块，ECB模式下会产生完全相同的密文，而在CBC模式下，当前的明文块会与前一块的密文异或后进行运算. 因此，即使是完全相同的明文输入也可能会有完全不同的密文输出. 相比于ECB模式，CBC模式提供了更高的安全性和抵抗攻击的能力，有着更高的应用需求. 提高SM4算法在CBC模式下的性能，对于在边缘设备中使用SM4算法是至关重要的. 但是，在CBC模式下存在着难以提高吞吐率的问题：每组的输入必须等待前一组运算结束后才能获得，因而难以使用流水线方法提升吞吐率.

文献[2]中提到了一种改进方法，将电路中的S盒以外的其他逻辑结构进行预计算，并把预计算的结果与S盒进行融合构成新的查找表，从而提高SM4算法在CBC模式下吞吐率. 本文基于此工作进一步优化了S盒的表示，并针对轮函数的迭代过程进行了优化，最终减少了轮函数关键路径上的2次异或运算，有效提高了算法的性能.

本文的设计针对CBC模式下的SM4算法，在TSMC 40 nm，SMIC 55 nm工艺下，使用Synopsys Design Compiler分别进行了ASIC综合. 综合结果显示，本文所提出的设计在CBC模式下的吞吐率达到了4.2 Gb/s，同时单位面积吞吐量达到了129.4 Gb·s⁻¹·mm⁻²，明显优于已发表的类似设计. 这些结果表明本文所提出的化简方法在改进SM4算法性能方面具有很大的潜力.

本文的结构为：首先介绍了SM4算法及其在CBC模式下存在的性能瓶颈问题. 然后，详细描述了本文提出的2个化简方法，并解释了它们在轮函数迭代和S盒置换过程中的作用. 接下来，介绍了实验设计并给出了实验结果分析和对比. 最后，对进一步改进和应用的方向进行了展望.

1. SM4算法介绍

SM4算法是一种对称密钥密码算法，被广泛应用于数据加密和保护领域，它是中国密码算法的标准之一，具有较高的安全性和良好的性能.

SM4采用了分组密码的设计思想，将明文数据划分为128 b的数据块，并通过密钥对每个数据块进行加密和解密操作. 对单组数据进行加解密的流程如所示，分为密钥扩展算法和加解密算法2部分. 中的 $FK$ 是系统预设的参数，与用户密钥进行异或运算后作为密钥扩展算法的输入. 加解密算法接受密钥扩展算法产生的32轮轮密钥 $r{k_i}$ 对明文进行加解密，最后经反序变换输出. 加解密使用的是同一套计算流程，唯一的区别是解密时使用轮密钥的顺序与加密过程相反.

图 1 SM4算法工作流程

Figure 1. Workflow of SM4 algorithm

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密钥扩展算法和加解密算法2部分均由32次轮函数迭代构成，整体结构均采用4路并行的Feistel结构，在计算过程中，以128 b数据为输入、128 b数据为输出，其内部的运算逻辑如图2所示. 输出中的前96 b数据等于输入中的后96 b数据，输出后的32 b数据通过轮函数运算产生.

图 2 4路并行的Feistel结构

Figure 2. Four parallel Feistel structure

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在密钥扩展算法中使用的密钥是算法给定的固定密钥，记作 $c{k_i}$ . 在加解密算法中使用的密钥是由密钥扩展算法通过用户给的密钥扩展出来的轮密钥，记作 $r{k_i}$ .

1.1 SM4密钥扩展算法

SM4密钥扩展算法结构如所示，密钥扩展的主要过程包括32轮密钥扩展的轮函数，其中，密钥为128 b， $FK$ 为SM4标准中规定的一个128 b常数. 二者异或后的值将会作为密钥扩展轮函数的首轮输入，并通过一个选择器进行循环迭代，总计迭代32轮产生32个轮密钥.

图 3 SM4的密钥扩展算法结构

Figure 3. Key expansion algorithm structure of SM4

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设用户输入的密钥为 $MK$ ，则该密钥对应的32轮轮密钥可以按照式（1）求出：

$\left\{ {\begin{aligned} & {({k_0},{k_1},{k_2},{k_3}) = MK \oplus FK}, \\ & {{k_{i + 4}} = {k_i} \oplus F({k_{i + 1}} \oplus {k_{i + 2}} \oplus {k_{i + 3}} \oplus c{k_i})}, \\ &{r{k_i} = {k_{i + 4}}} , \end{aligned}} \right.$

(1)

其中， $c{k_i}$ 是系统预设的32 b参数， $r{k_i}$ 代表第 $i$ 轮的轮密钥， $F$ 代表密钥扩展轮函数，其由S盒置换算法 $\tau :Z_2^{32} \to Z_2^{32}$ 和线性变换算法 $L(x) = x \oplus (x \lt \lt \lt 13) \oplus (x \lt \lt \lt 23)$ 组成，其中 $\lt \lt \lt$ 表示循环左移运算.

1.2 SM4加解密算法

SM4算法的加解密算法的整体结构与密钥扩展算法类似，均包含32轮的轮函数迭代，区别在于加解密算法中额外包含1次反序变换.

SM4算法的轮函数迭代流程如所示， ${X_1}$ ~ ${X_4}$ 为第1轮的输入， ${X_2}$ ~ ${X_5}$ 为第1轮的输出，同时也是第2轮的输入. $r{k_1}$ 为第1轮的轮密钥， $T$ 函数代表加解密模块的轮函数. 与密钥扩展部分的轮函数 $F$ 类似，由S盒置换算法 $\tau$ 和一个线性变换算法 $L'(x)=x\oplus (x \lt \lt \lt 2) \oplus (x \lt \lt \lt 10)$ $\oplus\, (x \lt \lt \lt 18) \oplus (x \lt \lt \lt 24)$ 组成.

图 4 SM4加解密模块轮函数结构

Figure 4. Round function structure of SM4 encryption and decryption modules

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2. 对SM4加解密算法关键路径的化简

通过多轮的迭代过程，SM4算法能够实现高强度的数据加密和解密. 然而，在CBC模式下，由于相邻数据之间的依赖关系，传统的流水线技术难以提高算法的吞吐率. 因此，针对这一问题，本文提出了2种化简方法，以减少关键路径上的运算，从而提高SM4算法在CBC模式下的性能.

2.1 轮函数优化

加解密模块的轮函数的结构如所示，若不考虑 $T$ 函数带来的时序延迟，单次轮函数迭代的关键路径上共包含3次异或运算. 以公式的形式描述SM4算法加解密轮函数的迭代关系可得到式（2）：

${X_{i + 4}} = {X_i} \oplus ({X_{i + 1}} \oplus {X_{i + 2}} \oplus {X_{i + 3}} \oplus r{k_i}) .$

(2)

若考虑相邻的2次轮函数迭代，则有：

$\left\{ {\begin{aligned} & {{X_{i + 4}} = {X_i} \oplus T({X_{i + 1}} \oplus {X_{i + 2}} \oplus {X_{i + 3}} \oplus r{k_i})}, \\ & {{X_{i + 5}} = {X_i} \oplus T({X_{i + 2}} \oplus {X_{i + 3}} \oplus {X_{i + 4}} \oplus r{k_{i + 1}})}. \end{aligned}} \right.$

(3)

观察式（1）~（3）不难发现，由于SM4采用了4条数据线路的Feistel结构进行设计，在相邻的2次轮函数迭代过程中，均有96 b的输入是完全一致的，在式（3）的计算过程中，相邻2轮的轮函数将 ${X_{i + 2}} \oplus {X_{i + 3}}$ 计算了2次.

因此，一个简单的优化思路便是，我们在轮函数之间传递数据时，额外传递 ${X_{i + 2}} \oplus {X_{i + 3}} \oplus r{k_{i + 1}}$ 的运算结果，并作用于下一次计算，得到的流程图如图5所示.

图 5 优化的轮函数结构

Figure 5. Optimized round function structure

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相比于图4的运算流程，在计算当前轮次的输出时，二次优化过后的轮函数通过提前获取下一轮次使用的密钥，并利用2轮之间相同的数据提前计算，可以使得在加解密的流程中总计节省32次异或运算的时间.

2.2 S盒性能优化

S盒是密码学领域的一个基本组件，其功能是实现数据的非线性变换，在DES，AES，SM1，SM4等算法中均有应用. 在SM4算法中，其提供了一个8 b到8 b的非线性变换.

在SM4算法中，S盒模块通常与另一个线性变换函数 $L'$ 组合使用，即和中的T函数，其位于加解密算法轮函数的关键路径上，因此，如果能找到优化 $T$ 函数关键路径的方法延时，也可以使得整个加解密模块的延时变小，进而提高运算效率. $T$ 函数的内部结构如所示，图中的 $\lt \lt \lt$ 表示对32 b数据进行循环左移，关键路径包括1个S盒和3次异或运算. 在硬件实现中，循环移位可以通过硬件连线来实现，不会带来额外的路径延时.

图 6 SM4加解密模块T函数结构

Figure 6. T function structure of SM4 encryption and decryption modules

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$T$ 函数中包含4次异或运算，反映到电路设计中，其关键路径上至少存在3次异或运算. 因此，一个优化思路便是，将算法中的S盒的输入输出修改为8 b输入、32 b输出^[2-3] ，并提前将 $L'$ 函数作用于图中的4个S盒，如所示. 中，通过编码的形式保存其运行结果，将中的SBox与后续的线性变换 $L'$ 组合形成exSBox，之后仅需要将4个exSBox的输出异或即可，从而减少了1次异或运算.

图 7 优化的T函数结构

Figure 7. Optimized T-function structure

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虽然修改后的S盒比原先的S盒输出了更多的数据，但在硬件实现中，仍然是通过相同数量的多路选择器查表输出. 因此修改前后的S盒的路径延时及其安全性并未改变.

2.3 S盒面积优化

以中的exSBox1为例，使用 $\rm 0xff$ 作为输入展示exSBox1的构造方式，首先获得 $\rm 0xff$ 作用于S盒后的运行结果 $\rm 0x48$ . 由于exSBox1的输入对应最高四位，因此，将其拓展为32 b数据为 $\rm 0x48000000$ . 在经过 $L'$ 函数后，得到的值是 $\rm 0x68492121$ . 如表1所示，表中前5行加粗部分表示传入的数据及其循环移位后所处位置，其余位置在任意输入下都恒等于0.

表 1 搜索空间降低比率和命中率

Table 1. Search Space Reduction Rate and Hit Rate

原数据	01001000	00000000	00000000	00000000
<<<2	00100000	00000000	00000000	00000001
<<<10	00000000	00000000	00000001	00100000
<<<18	00000000	00000001	00100000	00000000
<<<24	00000000	01001000	00000000	00000000
异或和	01101000	01001001	00100001	00100001
注：加粗部分表示传入的数据及其循环移位后所处位置.

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观察表1的运算结果不难发现，除最后一行加粗数字表示的第0~5位，第14，15位由异或运算产生，其余的24位均是输入的8位数据的排列组合，因此在硬件设计时，可以仅使用8 b输入、16 b输出的S盒实现. 对于图7中剩余的3个exSBox，在相同的输入下，可以通过对表1中的数据进行循环移位，得到对应的输出. 上述结论对4个位于不同部位的S盒均成立.

具体而言，令 $p$ 为输入的8 b数据， $\tau (p)$ 为标准SM4算法中S盒的输出. $X = ({x_0},{x_1}, \cdots ,{x_{15}})$ 为exSBox1中存储的16 b数据， $Y = ({y_0},{y_1}, \cdots, {y_{31}})$ 为优化后的 $T$ 函数中需要的32 b输出. $\tau$ 为SM4算法标准中使用的S盒置换函数，其对于8 b输入，产生对应的8 b输出，则 $X$ 可以由式（4）产生：

$\left\{ {\begin{aligned} & {({x_0},{x_1}, \cdots, {x_7}) = \tau (p)} ,\\ & {({x_8},{x_9}, \cdots ,{x_{15}}) = \tau (p) \oplus (\tau (p) \lt \lt \lt 2)} . \end{aligned}} \right.$

(4)

由可知， $Y$ 的取值实际上可以由 $X$ 经过排列组合得到，对于exSBox2，exSBox3，exSBox4的取值，可以通过 $Y$ 循环移位得到，且由于该过程中仅包含赋值运算，在电路设计中可以通过物理连线完成. 相比于文献[2]中的设计，节约了1/3的面积消耗. 具体的计算方式如式（5）所示.

$\left\{\begin{split} & (y_0,y_1,\cdots,y_5)=(x_8,x_9,\cdots,x_{13})， \\ &(y_6,y_7）=(x_6,x_7)， \\ &(y_8,y_9,\cdots,y_{13})=(x_0,x_1,\cdots,x_5)， \\ &(y_{14},y_{15}）=(x_{14},x_{15})， \\ &(y_{16},y_{17},\cdots,y_{21})=(x_2,x_3,\cdots,x_7)， \\ &(y_{22},y_{23}）=(x_0,x_1)， \\ &(y_{24},y_{25},\cdots,y_{29})=(x_2,x_3,\cdots,x_7)， \\ &(y_{30},y_{31}）=(x_0,x_1). \end{split} \right.$

(5)

3. 硬件实现与实验对比

现场可编程逻辑门阵列（FPGA）和专用集成电路（ASIC）是目前主流使用硬件电路实现密码算法的2个方式. FPGA虽然具有可编程性、灵活性和快速设计等优势，但ASIC相较于FPGA拥有更高的性能，与本文设计追求的高效率目标相符，所以选择在ASIC下实现.

3.1 硬件整体设计

SM4硬件系统的整体结构设计如所示，包括密钥扩展模块、加解密模块和适配CBC工作模式的组合逻辑. 对于单个加解密任务，若明文被分为 $n$ 组，会执行1次密钥扩展和 $n$ 次加解密. 因此，优化加解密算法的执行效率是优化SM4硬件设计的重点. 本文所提出的2种化简方法，对于每一组明文输入，可以减少64级异或门的延时，极大地提升了运算效率.

图 8 SM4硬件整体架构

Figure 8. Overall architecture of SM4 hardware

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3.2 加解密模块设计

SM4算法的硬件实现主要有2种方案：一种方案是流水线结构，即通过寄存器连接多个加解密模块同时工作以提高加解密的效率，如（a）所示；另一种方案是使用循环迭代的方式. 即一次性提取32个轮函数中的 $n$ 轮组合成一个组合电路，称为 $n$ 合1电路，如（b）所示. 流水线结构的优势是可以充分利用 $n$ 个加密核心的性能，在不影响整体工作频率的情况下加速运算. 对于SM4算法而言，在合理范围内堆叠流水线可以实现极高的吞吐量.

图 9 流水线结构与循环迭代结构

Figure 9. Pipeline architecture and loop iteration architecture

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然而，流水线结构仅适用于ECB等数据无前后依赖的工作模式. 在CBC工作模式下，由于需要将前一轮的输出与本轮的输入进行异或运算，相邻的数据存在依赖，故而无法使用流水线加速运算. 因此，在本设计中没有选用流水线结构.

虽然循环迭代结构会降低整体模块的工作频率，对吞吐量的提升较为有限，但可以同时兼容 ECB，CBC这 2种工作模式. 本设计最终选择了循环迭代的设计方式.

3.3 密钥扩展模块设计

在SM4算法中，密钥扩展与加解密算法类似，均包含32轮迭代. 密钥扩展模块采用图2所示的单轮组合逻辑电路循环32次来实现32轮迭代.

在密钥扩展模块的输出端，使用寄存器存放每一轮电路的轮密钥，标号为0~31，如所示. 标号从0开始的好处是：在解密时，使用到的密钥顺序相反的，加密的第 $k$ 轮使用的是第 $k - 1$ 号密钥，解密的第 $k$ 轮使用的是第 $32 - k$ 号密钥. 在二进制下，二者的标号可以通过取反操作相互转化.

图 10 轮密钥的存储与使用

Figure 10. Storage and usage of round keys

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为了保证运算结果的准确性，密钥扩展模块还会向加解密模块发出控制信号表明自己的工作状态，以避免在轮密钥尚未完全更新时使用错误的轮密钥进行加解密.

3.4 综合验证方案

在国家标准文档^[1]中，并没有针对CBC工作模式给出具体的测试用例. 因此，本文设计方案通过完整的Verilog HDL语言实现，通过在FPGA平台进行综合、仿真和上板验证，以确保功能正确并进行相关性能分析，如图11所示. 具体而言，通过PCIE上位机下发随机的明文数据到FPGA开发板，开发板完成加密后传回上位机，通过与软件对比实现功能验证. 若在循环验证多次后二者的输出均完全相同，则认为设计的SM4电路的功能正确.

图 11 测试流程

Figure 11. Testing procedures

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最终，本文的设计在Zynq 7020 FPGA开发板上完成了上板验证，确保了功能的正确性，工作频率最高可达95 MHz，吞吐量约为1.5 Gb/s.

3.5 ASIC综合结果

ASIC上主要针对2种工艺SMIC 55 nm与 TSMC 40 nm进行了测试、通过Synopsys公司的EDA工具DesignCompiler进行时序等综合约束，我们选择了芯片面积和芯片使用的逻辑门数量（gates）作为评估指标，其结果如表2和表3所示，在CBC模式下，本文的设计在3.97 mW的功耗下，单位面积吞吐率达129.4 Gb·s⁻¹·mm⁻²，明显优于同类设计. 此外，以使用逻辑门的数量为评估标准，本文提出的设计在该指标上也明显优于同类设计，单位面积吞吐率为0.205×10⁻³ Gb·s⁻¹·gates⁻¹.

表 2 SM4综合结果与面积效率对比

Table 2. Comparison of SM4 Synthesis Results and Area Efficiency

工艺节点	芯片面积/mm²	吞吐率/（Gb·s⁻¹）	单位面积吞吐率/ （Gb·s⁻¹·mm⁻²）	功耗/mW
40 nm^*	0.0335	4.34	129.40	3.97
55 nm^*	0.0877	4.41	50.30	10.88
65 nm^[2]	0.1260	5.24	41.59
180 nm^[4]	0.0790	0.10	1.27	5.31
55 nm^[5]	0.0870	0.40	4.59	4.35
350 nm^[6]	0.0270	0.412	15.26
注：*标注的表示本文的结果.

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表 3 SM4综合结果与门效率对比

Table 3. Comparison of SM4 Synthesis Results and Gates Efficiency

工艺节点	gates	吞吐率/（Gb·s⁻¹）	单位面积吞吐率/ （Gb·s⁻¹·gates⁻¹）
40 nm^*	21.2×10³	4.34	0.205×10⁻³
55 nm^*	21.1×10³	4.41	0.209×10⁻³
180 nm^[6]	32.0×10³	0.80	0.025×10⁻³
65 nm^[7]	31.0×10³	1.23	0.040×10⁻³
55 nm^[8]	22.0×10³	0.27	0.012×10⁻³
130 nm^[9]	22.0×10³	0.80	0.036×10⁻³
注：*标注的表示本文的结果.

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在不同工艺、电压下对该设计进行综合，可以得到本文设计在不同使用场景下的吞吐率. 在TSMC 40 nm、SMIC 55 nm、SMIC 130 nm下使用不同的工艺角分别对本文的设计进行综合，结果如表4所示.

表 4 不同工艺角下的SM4综合结果与效率对比

Table 4. Comparison of SM4 Synthesis Results and Efficiency with Different Process Corners

工艺节点	工艺角	面积/gates	吞吐率/（Gb·s⁻¹）	功耗/mW
40 nm	0.99V/125°C/SS	21.0×10³	2.40	2.55
	1.1V/25°C/TT	21.2×10³	4.34	3.97
	1.21V/0°C/FF	20.9×10³	6.96	8.35
55 nm	1V/25°C/TT	20.0×10³	2.78	4.10
	1.2V/25°C/TT	21.1×10³	4.41	10.88
	1.32V/0°C/FF	17.8×10³	6.84	33.59
130 nm	1.08V/125°C/SS	20.8×10³	1.11	6.86
	1.2V/25°C/TT	21.0×10³	1.75	15.70
	1.32V/0°C/FF	21.8×10³	2.45	23.03

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4. 结　　论

根据本文提出的2种对SM4加解密模块关键路径进行化简以及降低面积的方法，实现了4合1的SM4电路，并基于Zynq7020开发板进行了功能验证. 此外，ASIC综合结果表明本文的SM4电路相比于其他方案有更高的单位面积吞吐率和更低的功耗. 因此，这种对SM4算法进行的优化是有效的，并且对其他分组算法提高CBC模式下的单位面积吞吐率具有参考价值.

作者贡献声明：郝泽钰提出研究方案并完成了论文的撰写；代天傲、黄亦成、段岑林协助完成了ASIC平台上的验证实验；董进、吴世勇、张博、王雪岩、贾小涛提出指导意见并修改论文；杨建磊提出指导意见并讨论定稿.

图 1 G-L型分数阶微分Tiansi算子

Figure 1. G-L fractional order differential Tiansi operator

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图 2 (0,1)区间Caputo分数阶微分掩模算子

Figure 2. Caputo fractional order differential mask operator with order in (0,1)

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图 3 分数阶微分的幅频特征曲线

Figure 3. Amplitude frequency characteristic curves of fractional order differential

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图 4 分数阶积分的幅频特征曲线

Figure 4. Amplitude frequency characteristic curves of fractional order integral

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图 5 (1,2)区间Caputo分数阶微分掩模算子

Figure 5. Caputo fractional order differential mask operator with order in (1,2)

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图 6 （2,3）阶Caputo分数阶微分 $3 \times 3$ 型掩模算子

Figure 6. Caputo fractional order differential $3 \times 3$ -type mask operator with order in (2,3)

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图 7 （2,3）阶Caputo分数阶微分5×5型掩模算子

Figure 7. Caputo fractional order differential $5 \times 5$ -type mask operator with order in (2,3)

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图 8 实验图像

Figure 8. Experimental images

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图 9 Caputo微分掩模算子的其他种表现形式

Figure 9. The other forms of Caputo differential mask operator

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图 10 2种(2,3)阶Caputo微分掩模算子模板的图像增强效果对比

Figure 10. Comparison of image enhancemental effects of two kinds of Caputo differential mask operator templates with order in (2,3)

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图 11 不同微分掩模算子模板对图8（a）的增强效果

Figure 11. Enhancemental effects of different differential mask operator templates on Fig.8(a)

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图 12 不同微分掩模算子模板对图8（b）的增强效果

Figure 12. Enhancemental effects of different differential mask operator templates on Fig.8 (b)

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图 13 不同微分掩模算子模板对图8（c）的增强效果

Figure 13. Enhancemental effects of different differential mask operator templates on Fig.8 (c)

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图 14 Laplacian算子和直方图均衡化方法对实验图像的增强效果

Figure 14. Enhancement effects of Laplacian operator and histogram equalization method on experimental images

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表 1 图8（a）增强效果的客观指标结果对比

Table 1 Comparison Results of the Objective Indicators of Enhancemental Effects on Fig.8 (a)

模板	阶数	算子类型	评价指标
模板	阶数	算子类型	平均梯度	信息熵	清晰度	对比度
3×3	0.3	G-L型	6.8902	6.9427	7.5759	227.6614
		R-L型	6.4536	6.9473	6.8702	188.3375
		Caputo型	7.0504	6.6929	8.7455	286.2049
	1.1	G-L型	6.3160	6.9482	6.6591	176.9531
		R-L型	6.7080	6.9447	7.2764	210.6216
		Caputo型	6.3026	6.9487	6.6390	175.8829
	1.9	G-L型	6.0969	6.9506	6.3382	160.2051
		R-L型	6.9320	6.9417	7.6452	231.5718
		Caputo型	6.0917	6.9505	6.3309	159.8844
	2.4	G-L型	6.0197	6.9508	6.2314	154.6847
		R-L型	7.0459	6.9391	7.8350	242.8025
		Caputo型	6.8385	6.2210	9.6886	323.2128
5×5	0.3	G-L型	6.4237	6.9578	6.9659	190.1078
		R-L型	6.6447	6.8653	7.2011	208.2031
		Caputo型	6.9548	6.5797	8.7556	284.4736
	1.1	G-L型	5.4238	6.9724	5.5685	117.8993
		R-L型	6.3400	6.4615	7.3624	209.0823
		Caputo型	6.3891	6.9387	6.7580	182.8300
	1.9	G-L型	5.0839	6.9785	5.1562	98.7239
		R-L型	6.2423	6.1047	7.5825	210.5669
		Caputo型	5.9893	6.7079	6.4740	167.9417
	2.4	G-L型	4.9736	6.9800	5.0374	93.2233
		R-L型	6.2872	5.9357	7.7596	215.4927
		Caputo型	6.8524	6.4929	9.5154	316.6727
注：黑体数字表示最优结果.

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表 2 图8（b）增强结果的客观指标结果对比

Table 2 Comparison Results of the Objective Indicators of Enhancemental effects on Fig.8 (b)

模板	阶数	算子类型	评价指标
模板	阶数	算子类型	平均梯度	信息熵	清晰度	对比度
3×3	0.3	G-L型	8.8829	7.5867	11.3161	329.9100
		R-L型	7.7422	7.6857	9.2947	234.6062
		Caputo型	11.9138	7.5390	17.1594	689.1307
	1.1	G-L型	7.3751	7.6790	8.6453	208.0017
		R-L型	8.4119	7.6330	10.4830	288.3720
		Caputo型	7.3395	7.6691	8.5824	205.5975
	1.9	G-L型	6.7905	7.6937	7.6266	170.1854
		R-L型	8.9897	7.5543	11.5043	339.8064
		Caputo型	6.7768	7.6965	7.6031	169.3084
	2.4	G-L型	6.5876	7.6963	7.2858	158.4013
		R-L型	9.2571	7.4713	11.9847	365.5698
		Caputo型	13.5855	7.0500	21.2144	990.0417
5×5	0.3	G-L型	7.9502	7.6559	10.0048	258.3167
		R-L型	8.5269	7.6385	10.4156	291.4638
		Caputo型	12.4173	7.4429	17.9518	750.8917
	1.1	G-L型	5.5971	7.7169	6.2745	112.1167
		R-L型	10.3380	7.3253	13.4603	456.8661
		Caputo型	7.5167	7.6830	8.8330	217.1244
	1.9	G-L型	4.8560	7.7126	5.1883	81.7784
		R-L型	11.2766	6.9566	15.1590	558.4962
		Caputo型	7.9581	7.5761	9.3507	245.3151
	2.4	G-L型	4.6567	7.7133	4.9387	75.0231
		R-L型	11.4927	6.7691	15.6182	584.8054
		Caputo型	13.2530	7.3514	20.7048	945.6762
注：黑体数字表示最优结果.

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表 3 图8（c）增强结果的客观指标结果对比

Table 3 Comparison Results of the Objective Indicators of Enhancemental Effects on Fig.8 (c)

模板	阶数	算子类型	评价指标
模板	阶数	算子类型	平均梯度	信息熵	清晰度	对比度
3×3	0.3	G-L型	6.0721	7.5151	7.3324	184.4211
		R-L型	5.5302	7.5342	6.3172	133.8052
		Caputo型	7.0989	7.2991	10.0333	353.1551
	1.1	G-L型	5.3444	7.5336	5.9908	119.3074
		R-L型	5.8473	7.5281	6.9064	162.2364
		Caputo型	5.3264	7.5341	5.9597	117.9747
	1.9	G-L型	5.0485	7.5327	5.4984	99.0744
		R-L型	6.1233	7.5141	7.4300	189.6704
		Caputo型	5.0415	7.5325	5.4874	98.6672
	2.4	G-L型	4.9448	7.5320	5.3395	92.9564
		R-L型	6.2623	7.5062	7.6959	204.3036
		Caputo型	6.4515	6.4652	10.4794	380.9170
5×5	0.3	G-L型	5.4950	7.5326	6.5847	147.2123
		R-L型	6.2400	7.5285	7.2338	176.6067
		Caputo型	7.2356	7.1595	10.2331	367.5075
	1.1	G-L型	4.1087	7.5362	4.5016	64.0808
		R-L型	7.4012	7.1734	9.1183	281.5226
		Caputo型	5.4880	7.5327	6.1655	126.5821
	1.9	G-L型	3.6319	7.5326	3.8885	45.7907
		R-L型	7.6304	6.6845	9.7324	318.3653
		Caputo型	6.4177	7.5078	7.3242	176.4619
	2.4	G-L型	3.4864	7.5316	3.7364	41.5615
		R-L型	7.6896	6.4227	9.9355	330.3894
		Caputo型	6.8174	6.9497	11.1625	431.5887
注：黑体数字表示最优结果.

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表 4 实验图像客观指标总体占优率统计

Table 4 Statistics of Overall Dominance Rate of Objective Indicators of Experimental Images %

算子类型	整体范围
算子类型	总体指标	平均梯度	信息熵	清晰度	对比度
G-L型	19.94	0.00	77.78	0.00	0.00
R-L型	31.94	44.44	16.67	33.33	33.33
Caputo型	48.61	55.56	5.56	66.67	66.67
注：黑体数字表示最优结果.

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表 5 按模板大小统计实验图像客观指标占优率

Table 5 The Dominant Rate Statistics of Objective Indicators of Experimental Images According to the Size of Template %

算子类型	3×3模板范围					5×5模板范围
算子类型	总体指标	平均梯度	信息熵	清晰度	对比度	总体指标	平均梯度	信息熵	清晰度	对比度
G-L型	13.89	0.00	55.56	0.00	0.00	25.00	0.00	100.0	0.00	0.00
R-L型	36.11	44.44	33.33	33.33	33.33	27.78	44.44	0.00	33.33	33.33
Caputo型	47.22	55.56	11.11	66.67	66.67	47.22	55.56	0.00	66.67	66.67
注：黑体数字表示最优结果.

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表 6 按不同阶数统计实验图像客观指标占优率

Table 6 The Dominance Rate Statistics of Objective Indicators of Experimental Images According to Different Orders %

算子类型	阶数v = 0.3				阶数v = 1.9				阶数v = 2.4
算子类型	平均梯度	信息熵	清晰度	对比度	平均梯度	信息熵	清晰度	对比度	平均梯度	信息熵	清晰度	对比度
G-L型	0.00	50.00	0.00	0.00	0.00	83.33	0.00	0.00	0.00	100.0	0.00	0.00
R-L型	0.00	50.00	0.00	0.00	100.0	0.00	100.0	100.0	33.33	0.00	0.00	0.00
Caputo型	100.0	0.00	100.0	100.0	0.00	16.67	0.00	0.00	66.67	0.00	100.0	100.0
注：黑体数字表示最优结果.

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表 7 Laplacian算子和直方图均衡化方法对实验图像的增强效果客观指标结果

Table 7 The Objective Indicators Results of the Enhancemental Effects of Laplacian Operator and Histogram Equalization Method on Experimental Images

增强方法	图像	评价指标
增强方法	图像	平均梯度	信息熵	清晰度	对比度
Laplacian算子	图8（a）	7.037	5.896	10.477	364.678
	图8（b）	13.620	6.565	21.819	1026.100
	图8（c）	5.884	5.826	10.060	347.921
直方图均衡化	图8（a）	10.565	6.574	13.307	501.613
	图8（b）	11.786	5.277	15.798	642.781
	图8（c）	8.770	7.096	11.228	458.680

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