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摘要:
在科学计算和系统工程等领域，稀疏矩阵向量乘（sparse matrix-vector multiplication，SpMV）占据着极其重要的位置. 受限于矩阵稀疏性所导致的访存不规则性，向量优化一直是SpMV的难点. 针对此问题，进行深入分析并且总结影响SpMV向量化效率的主要因素. 除却稀疏矩阵内非零元分布的不规则，不同稀疏矩阵之间的非零元分布特征亦有明显不同，导致单一的向量优化策略难以适用于多种不同特征的稀疏矩阵. 另一方面，多样化向量硬件在向量特性和指令上的差异，影响了SpMV向量优化方法的通用性. 把不规则的稀疏矩阵映射到规则的向量硬件上进行计算，是SpMV向量化面临的最主要挑战. 基于此，提出一种基于混合向量化方法的SpMV优化机制（hybrid vectorization-optimized mechanism of SpMV，HVMS）. HVMS首先对向量硬件的特性进行抽象建模，并基于抽象出的基本操作，设计相应的规则指导稀疏矩阵进行规则化转换. 按照不同的矩阵特征，HVMS将稀疏矩阵划分为不同的部分，弱化稀疏矩阵的不规则程度，并引入不同的优化策略最大化SpMV的向量化效率，从而提升性能. 基于Intel Xeon平台，在30个常用稀疏矩阵上对HVMS进行实验分析. 结果表明，相比现有代表性工作如CVR，SELL-C-σ，Intel MKL，HVMS分别获得1.60倍、1.72倍和1.93倍的平均加速比.
Abstract:Sparse matrix-vector multiplication (SpMV) plays an important role in a wide variety of scientific and engineering applications.Executing SpMV efficiently on vector processors is challenging because of the irregular memory access of sparse matrices. We conduct a detailed analysis of the main factors that have impact on the efficiency of SpMV vectorization.In addition to the irregular distribution of non-zero elements within sparse matrices, different sparse matrices also exhibit huge variations in the distribution characteristics of non-zero elements. Therefore, it is difficult to apply a universal vector optimization method for matrices with diverse characteristics. Furthermore, there is a big difference in vector computing and vector instructions for various vector processors. The primary challenge of SpMV vectorization lies in mapping the irregular sparse matrices onto the regular vector processor. In this paper, we propose a hybrid vectorization-optimized mechanism of SpMV(HVMS). HVMS models the characteristics of vector processors and designs corresponding rules based on the abstracted basic operations to guide the regularization conversion of sparse matrices. HVMS divides the matrix into different parts according to the different characteristics. For each part, the non-zero distribution can be less irregular and then HVMS introduces corresponding optimization mechanisms to boost the vectorization efficiency of SpMV. We implement and evaluate HVMS on an Intel Xeon processor and compare it with three state-of-the-art approaches using 30 sparse matrices. Experimental results show that HVMS can achieve an average speedup of 1.60x, 1.72x, and 1.93x over CVR, SELL-C-σ, and Intel MKL, respectively.
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Keywords:
- SpMV /
- vectorization /
- sparse matrices /
- SIMD /
- multi-core system
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图 2 稀疏矩阵示例以及Intel MKL，CVR，SELL-C-σ在计算时的对应数据排布
Figure 2. A example of sparse matrix and the corresponding data layouts of Intel MKL, CVR and SELL-C-σ in the calculation
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图 3 Intel MKL，CVR，SELL-C-σ在4个数据集上的性能结果
Figure 3. Performance results of Intel MKL, CVR and SELL-C-σ on four datasets
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图 8 转换后的稀疏矩阵到基本向量计算操作的映射
Figure 8. Converted sparse matrix maps to the basic operations of vector computing
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图 11 4种方案在2个平台上的实验性能对比
Figure 11. Experimental performance comparison of four schemes on two platforms
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图 12 更改迭代次数后4种方案相比于Intel MKL的平均加速比
Figure 12. Average speedups of four shemes compared with Intel MKL after the iteration numbers change
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图 13 4种方案在4种稀疏矩阵上的可扩展性对比
Figure 13. Scaling comparison of four schemes on four sparse matrices
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图 14 更改HVMS中规则的优先级对性能的影响
Figure 14. Effect of changing priorities of rules in HVMS on performace
表 1 部分常用的向量指令
Table 1 Some Common Vector Instructions
指令操作 指令行为说明 load(&addr) 将数据（例如双精度浮点类型的数据）从内存地址addr处加载到寄存器. fmadd_pd(Reg1, Reg2, Reg3) 执行向量乘加操作，即目标寄存器的值=Reg1×Reg2 + Reg3. gather(idx, &array) 使用idx寄存器提供的索引值从数组array中gather多个数据（例如8个double数据），并将其加载入寄存器中. scatter(&array, idx, Reg) 使用idx寄存器提供的索引值从Reg中scatter多个数据（例如8个double数据），并将其存储到内存数组array. reduction_add(Reg) 返回将寄存器Reg内所有值相加后的结果. mask_reduction_add(Mask, Reg) 利用给定的掩码值（Mask）将寄存器Reg内相应位置的值相加并返回. 
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表 2 实验平台的配置信息
Table 2 Configuration Information of Experimental Platforms
参数 Intel Xeon Intel Core 处理器 Gold 6130 (Skylake) i9-10940X
(Cascade Lake)处理器个数 2 1 核心数 16 14 每核线程数 2 2 L1 cache大小/KB 32(I)+32 (D) 32 (I)+32 (D) L2 cache大小/MB 1 1 L3 cache大小/MB 22 19 内存大小/GB 126 62 操作系统 Ubuntu18.04.5 Ubuntu18.04.3 注：I表示指令缓存，D表示数据缓存.
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表 3 评测数据集
Table 3 Datasets Used for Evaluation
数据集 维度 非零元个数 平均每行非零元个数 cage15 5.1×106×5.1×106 99×106 19 caidaRouterLevel 192×103×192×103 1.2×106 6 c-big 345×103×345×103 2.3×106 6 circuit5M 5.5×106×5.5×106 59×106 10 citationCiteseer 268×103×268×103 2.3×106 8 coAuthorsDBLP 299×103×299×103 1.9×106 6 com-DBLP 317×103×317×103 2.0×106 6 com-Orkut 3×106×3×106 234×106 76 com-Youtube 1.1×106×1.1×106 5.9×106 5 dblp-2010 326×103×326×103 1.6×106 4 flickr 820×103×820×103 9.8×106 11 wiki-topcats 1×106×1×106 28×106 15 higgs-twitter 456×103×456×103 14×106 32 in-2004 1×106×1×106 16×106 12 language 399×103×399×103 1.2×106 3 loc-Gowalla 196×103×196×103 1.9×106 9 mip1 66×103×66×103 10×106 155 mouse_gene 45×103×45×103 28×106 642 NotreDame_actors 392×103×127×103 1.5×106 3 nxp1 414×103×414×103 2.6×106 6 preferential 100×103×100×103 1×106 9 rail4284 4×103×1×106 11×106 2633 road_central 14×106×14×106 33×106 2 pwtk 217×103×217×103 11×106 52 soc-Pokec 1.6×106×1.6×106 30×106 18 soc-sign-epinions 131×103×131×103 0.8×106 6 sx-superuser 194×103×194×103 0.9×106 4 webbase-1M 1×106×1×106 3.1×106 3 ldoor 952×103×952×103 42×106 44 CurlCurl_2 806×103×806×103 8×106 11
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表 4 3种方案平摊格式转换开销所需的SpMV迭代次数
Table 4 SpMV Iterations that Need to Amortize the Format Conversion Overhead on Three Schemes
数据集 CVR SELL-C-σ HVMS
（本文）cage15 ∞ ∞ ∞ caidaRouterLevel ∞ 161.47 4.16 c-big 1.73 105.80 3.29 circuit5M 2.66 ∞ 3.56 citationCiteseer ∞ 172.75 16.08 coAuthorsDBLP ∞ 88.11 4.01 com-DBLP ∞ 119.02 6.60 com-Orkut ∞ 474.72 7.35 com-Youtube 2.06 96.67 4.09 dblp-2010 ∞ 133.69 7.50 flickr 2.53 21.63 4.09 wiki-topcats 369.29 ∞ 78.67 higgs-twitter 51.17 71.15 46.99 in-2004 19.28 ∞ 56.19 language 8.14 ∞ 3.73 loc-Gowalla 3.50 11015.26 1.98 mip1 32.85 ∞ 115.37 mouse_gene 60.95 ∞ 133.37 NotreDame_actors ∞ 89.13 4.62 nxp1 ∞ ∞ 28.12 preferential 1.22 215.17 1.93 rail4284 12.25 ∞ 24.19 road_central 28.39 ∞ ∞ pwtk 153.19 186.86 ∞ soc-Pokec ∞ 84.20 19.49 soc-sign-epinions 1.66 137.77 2.38 sx-superuser 11.00 193.27 2.95 webbase-1M 4.61 98.82 6.49 ldoor ∞ ∞ ∞ CurlCurl_2 ∞ 118.43 ∞ 注：加粗数字表示3种方案中的最少迭代次数，亦即最优方案.
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